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超完全數

一個數 n 滿足

sigma^2(n)=sigma(sigma(n))=2n,

其中 sigma(n) 是 除數函式，被稱為超完全數。 偶 超完全數即為 2^(p-1)，其中 M_p=2^p-1 是 梅森素數。如果存在 奇 超完全數，它們是 平方數 且 n 或 sigma(n) 可被至少三個不同的 素數 整除。

更一般地，一個 m-超完全數（或 (m, 2)-超完全數）是指滿足 sigma^m(n)=2n 的數，而一個 (m,k)-完全數是指滿足 sigma^m(n)=kn 的數 n。可以使用以下 Wolfram 語言 程式碼來測試一個數 n 是否為 (m,k)-完全數

  SuperperfectQ[m_, n_, k_:2] :=
    Nest[DivisorSigma[1, #]&, n, m] == k n

前幾個 (2, 2)-完全數是 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, ... (OEIS A019279; Cohen and te Riele 1996)。對於 m>=3，不存在 偶數 m-超完全數 (Guy 1994, p. 65)。基於計算機搜尋，J. McCranie 已經表明，對於任何 (m,2)-超完全數都小於 4.29×10^9，其中 m>=3 (McCranie, 私人通訊, 11 月 11 日, 2001)。McCranie 進一步認為對於 (m,2)-超完全數，m>3 不存在，因為對於該範圍內的所有 n，sigma^4(n)>3m。

參見

除數函式, 梅森數, 完全數

使用 探索

參考文獻

Cohen, G. L. and te Riele, J. J. "Iterating the Sum-of-Divisors Function." Experim. Math. 5, 93-100, 1996.Guy, R. K. "Superperfect Numbers." §B9 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 65-66, 1994.Kanold, H.-J. "Über 'Super Perfect Numbers.' " Elem. Math. 24, 61-62, 1969.Lord, G. "Even Perfect and Superperfect Numbers." Elem. Math. 30, 87-88, 1975.Sloane, N. J. A. Sequence A019279 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Suryanarayana, D. "Super Perfect Numbers." Elem. Math. 24, 16-17, 1969.Suryanarayana, D. "There Is No Odd Super Perfect Number of the Form p^(2alpha)." Elem. Math. 24, 148-150, 1973.

在 中被引用

超完全數

請引用為

Weisstein, Eric W.. “超完全數”. 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/SuperperfectNumber.html

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