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親和數對

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一對親和數對 (m,n) 由兩個整數 m,n 組成，其中一個數的真因子（因子，不包括該數本身）之和等於另一個數。親和數對有時被稱為友好數對（Hoffman 1998，第 45 頁），儘管這種命名法不應提倡，因為更常被稱為友好數對的數字是由不同的但相關的標準定義的。符號表示，親和數對滿足

s(m)=n
(1)
s(n)=m,
(2)

其中

s(n)=sigma(n)-n
(3)

是受限除數函式。等效地，一對親和數對 (m,n) 滿足

sigma(m)=sigma(n)=s(m)+s(n)=m+n,
(4)

其中 sigma(n) 是除數函式。最小的親和數對是 (220, 284)，其分解為

220=11·5·2^2
(5)
284=71·2^2
(6)

給出受限除數函式

s(220)=sum{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
(7)
=284
(8)
s(284)=sum{1,2,4,71,142}
(9)
=220.
(10)

數量

sigma(m)=sigma(n)=s(m)+s(n),
(11)

在這種情況下，220+284=504，被稱為數對和。前幾個親和數對是 (220, 284)、(1184, 1210)、(2620, 2924) (5020, 5564)、(6232, 6368)、(10744, 10856)、(12285, 14595)、(17296, 18416)、(63020, 76084), ... (OEIS A002025 和 A002046)。D. Moews 維護了一個詳盡的表格。

1636 年，費馬發現了數對 (17296, 18416)，1638 年，笛卡爾發現了 (9363584, 9437056)，儘管這些結果實際上是阿拉伯數學家已知的數字的重新發現。到 1747 年，尤拉已經發現了 30 對，後來他將這個數字擴充套件到 60 對。1866 年，16 歲的 B. Nicolò I. Paganini 發現了小的親和數對 (1184, 1210)，這逃過了他更傑出的前輩的目光 (Paganini 1866-1867; Dickson 2005, p. 47)。截至 1946 年，已知有 390 對親和數對 (Escott 1946)。低於 10^8 的親和數對總共有 236 對 (Cohen 1970)，低於 10^(10) 的有 1427 對 (te Riele 1986)，少於 10^(11) 的有 3340 對 (Moews and Moews 1993ab)，少於 2.01×10^(11) 的有 4316 對 (Moews and Moews 1996)，以及少於 approx 3.06×10^(11) 的有 5001 對 (Moews and Moews 1996)。

生成親和數對的規則包括由費馬和笛卡爾重新發現的 Thâbit ibn Kurrah 規則，以及尤拉擴充套件的 尤拉規則。Borho (1972) 發現了一個以前未被注意到的進一步擴充套件。

Pomerance (1981) 證明了

[amicable numbers <=n]<ne^(-[ln(n)]^(1/3))
(12)

對於足夠大的 n (Guy 1994)。尚未證明非有限下界。

令親和數對錶示為 (m,n)，並取 m<n。如果滿足以下條件，則 (m,n) 稱為 (i,j) 型別的正則親和數對

(m,n)=(gM,gN),
(13)

其中 g=GCD(m,n) 是最大公約數，

GCD(g,M)=GCD(g,N)=1,
(14)

M 和 N 是無平方因子數，那麼 M 和 N 的質因子數分別是 i 和 j。非正則的數對稱為不規則或奇異數對 (te Riele 1986)。對於 j>=1，不存在 (1,j) 型別的正則數對。如果 m=0 (mod 6) 且

n=sigma(m)-m
(15)

是偶數，則 (m,n) 不可能是親和數對 (Lee 1969)。te Riele (1986) 發現的 m/n 的最小值和最大值分別為

938304290/1344480478=0.697893577...
(16)

和

4000783984/4001351168=0.9998582518....
(17)

te Riele (1986) 還發現了 37 對具有相同數對和的親和數對。第一對是 (609928, 686072) 和 (643336, 652664)，它們的數對和為

sigma(m)=sigma(n)=m+n=1296000.
(18)

te Riele (1986) 沒有發現對於 n>2 具有相同數對和的親和 n 元組。然而，Moews 和 Moews 在 1993 年發現了一個三元組，te Riele 在 1995 年發現了一個四元組。1997 年 11 月，發現了一個五元組和一個六元組。六元組是 (1953433861918, 2216492794082)、(1968039941816, 2201886714184)、(1981957651366, 2187969004634)、(1993501042130, 2176425613870)、(2046897812505, 2123028843495)、(2068113162038, 2101813493962)，所有這些的數對和為 4169926656000。令人驚訝的是，這個六元組比任何已知的四元組或五元組都小，並且可能比任何五元組都小。

最早已知的奇親和數都是可被 3 整除的。這導致 Bratley 和 McKay (1968) 推測不存在與 6 互質的親和數對 (Guy 1994, p. 56)。然而，Battiato 和 Borho (1988) 找到了一個反例，現在已知許多不可被 6 整除的親和數對 (Pedersen)。這種型別的最小已知示例是親和數對 (42262694537514864075544955198125, 42405817271188606697466971841875)，每個數字都有 32 位數。

然後開始搜尋與 30 互質的親和數對。Y. Kohmoto 於 1997 年發現了第一個示例，由一對數字組成，每個數字都有 193 位數 (Pedersen)。Kohmoto 隨後又發現了兩個示例，te Riele 和 Pedersen 使用了 Kohmoto 的兩個示例，透過一種從 (2,1) 型別數對生成 (3,2) 型別數對的方法，計算出了 243 個與 30 互質的型別為 (3,2) 的數對。

目前尚不知道與 2·3·5·7=210 互質的親和數對。

下表總結了近年來發現的最大的已知親和數對。其中最大的一對是透過定義

a=2·5·11
(19)
S=37·173·409·461·2136109·2578171801921099·68340174428454377539
(20)
p=925616938247297545037380170207625962997960453645121
(21)
q=210958430218054117679018601985059107680988707437025081922673599999
(22)
q_1=(p+q)p^(235)-1
(23)
q_2=(p-S)p^(235)-1,
(24)

然後 p、q、q_1 和 q_2 都是素數，並且這些數

n_1=aSp^(235)q_1
(25)
n_2=aqp^(235)q_2
(26)

是一對親和數對，每個成員都有 24073 位十進位制數字 (Jobling 2005)。

位數日期參考文獻
482910 月 4 日, 1997M. García
86846 月 6 日, 2003Jobling 和 Walker 2003
165635 月 12 日, 2004Walker 等人 2004
173265 月 12 日, 2004Walker 等人 2004
240733 月 10 日, 2005Jobling 2005

高斯整數中的親和數對也存在，例如

s(8008+3960i)=4232-8280i
(27)
s(4232-8280i)=8008+3960i
(28)

和

s(-1105+1020i)=-2639-1228i
(29)
s(-2639-1228i)=-1105+1020i
(30)

(T. D. Noe，私人通訊)。

另請參閱

因子和序列, 親和四元組, 親和三元組, 增廣親和數對, 繁殖器, 群, 尤拉規則, 友好數對, 多重親和數, 數對和, 準親和數對, 有理親和數對, 社交數, Thâbit ibn Kurrah 規則, 酉親和數對

使用 探索

參考文獻

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在 中被引用

親和數對

請引用為

Weisstein, Eric W. “親和數對。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AmicablePair.html

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