主題
Search

沙位元·伊本·庫拉法則

沙位元·伊本·庫拉法則是沙位元·伊本·庫拉在十世紀提出的一個優美結果（Woepcke 1852；Escott 1946；Dickson 2005，第 5 頁和第 39 頁；Borho 1972）。取 n>=2 並假設

h=3·2^n-1
(1)
t=3·2^(n-1)-1
(2)
s=9·2^(2n-1)-1
(3)

都是素數。那麼 (2^nht,2^ns) 是一對親和數，其中 h 有時被稱為沙位元·伊本·庫拉數。這種形式在 1636 年被費馬和 1638 年被笛卡爾重新發現，並被尤拉推廣為尤拉法則（Borho 1972）。

為了使這樣的數字存在，必須存在素數 3·2^n-1 對於兩個連續的 n，僅留下 1、2、3、4 和 6、7 的可能性。在這些可能性中，當 n=2、4 和 7 時，s 是素數，從而得到親和數對 (220, 284)、(17296, 18416) 和 (9363584, 9437056)。

事實上，可以找到各種類似於沙位元·伊本·庫拉法則的規則。用 T(b_1,b)2,p,F_1,F_2) 表示一個“沙位元規則”，對於給定的自然數 b_1 和 b_2，一個不整除 b_1、b_2 的素數 p，以及 F_1(X),F_2(X) in Z[X] 中的多項式。那麼，親和數對 (m_1,m_2) 形如 m_i=p^nb_iq_i (i=1, 2) 且 q_1, q_2 為素數，n 為自然數的集合是無限的必要條件是：

p/(p-1)=(b_1)/(sigma(b_1))+(b_2)/(sigma(b_2)),
(4)

其中 sigma(n) 是除數函式 (Borho 1972)。因此，如果對於某個 n>=1，以下兩者都成立，則 m_i=p^nb_iq_i (i=1, 2) 構成親和數對：

q_i=(p^n(p-1)(b_1+b_2))/(sigma(b_i))-1
(5)

對於 i=1, 2，都是不整除 b_ip 的素整數 (Borho 1972)。

下表總結了一些已知的沙位元·伊本·庫拉法則 T(au,p,(u+1)X,(u+1)sigma(u)X-1) (Borho 1972, te Riele 1974)。

ausigma(u)p
2^25·1172127
3^2·7·135·17108193
3^2·5·1311·19240449
3^2·7^2·135·41252457
3^2·7^2·13·195·19311642129
3^4·5·1129·8927005281
3^2·7·13·41·1635·977586810753
3^2·5·19·377·887710413313
3^4·7·11·2913·521730814081
3^2·7^2·13·19·2941·173730814401
3^2·5·13·1929·5691710033601
3^2·7^2·135·53·973175257457
3^2·5^2·13·31149·44967500134401
3^3·5^3·13149·44967500134401
2·7^2·19·2311·13523162288311041
3^4·5·11·5989·5309477900950401
3^4·5·11^2·71709·212915123003021761
3^2·7^2·11·19·43·89293·22961675082813478401
2^3·3117·107·4339843696016329601
2^8257·33023852019217007103
2^3·19·13783·2186511836676836514801
2^7·2634271·28088311999364482399587741

另請參閱

親和數對, 尤拉法則, 裡塞爾數

使用 探索

參考文獻

Borho, W. "On Thabit ibn Kurrah's Formula for Amicable Numbers." Math. Comput. 26, 571-578, 1972.Dickson, L. E. 數論史，卷 1：可除性和素性。 New York: Dover, 2005.Escott, E. B. E. "Amicable Numbers." Scripta Math. 12, 61-72, 1946.Riesel, H. "Lucasian Criteria for the Primality of N=h(2^n)-1." Math. Comput. 23, 869-875, 1969.Riesel, H. 素數與因子分解的計算機方法，第二版。 Basel: Birkhäuser, p. 394, 1994.Sloane, N. J. A. 序列 A002235/M0545，出自“整數序列線上百科全書”。te Riele, H. J. J. "Four Large Amicable Pairs." Math. Comput. 28, 309-312, 1974.Woepcke, F. J. Asiatique 20, 320-429, 1852.

在 上被引用

沙位元·伊本·庫拉法則

引用此內容

Weisstein, Eric W. "沙位元·伊本·庫拉法則。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ThabitibnKurrahRule.html

主題分類