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有理親和數對

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有理親和數對由兩個整數 a 和 b 組成，它們的除數函式相等且形式為

sigma(a)=sigma(b)=(P(a,b))/(Q(a,b))=R(a,b),
(1)

其中 P(a,b) 和 Q(a,b) 是二元多項式，且滿足以下性質 (Y. Kohmoto)

1. 右側分式分子中所有項的次數相同。

2. 右側分式分母中所有項的次數相同。

3. P 的次數比 Q 的次數大 1。

如果 a=b 且 P(a,b) 的形式為 ma^r，則 (◇) 簡化為特殊情況

sigma(a)=m/na,
(2)

因此，如果 m/n 是整數，則 a 是多完全數。

考慮以下形式的多項式

R_n(a,b)=((a+b)^n)/(a^(n-1)+b^(n-1)).
(3)

對於 n=1，(◇) 簡化為

sigma(a)=sigma(b)=1/2(a+b),
(4)

目前尚無已知示例。對於 n=2，(◇) 簡化為

sigma(a)=sigma(b)=((a+b)^2)/(a+b)=a+b,
(5)

因此 (a,b) 構成一個親和數對。對於 n=3，(◇) 變為

sigma(a)=sigma(b)=((a+b)^3)/(a^2+b^2).
(6)

Kohmoto 發現了這種型別的三個解類。第一個是

2^(m-1)M_m·3·5^2·13·31·139·277·3877[11·19; 239],
(7)

其中 M_m 是梅森素數，且 m!=2!=5，給出 (26403469440047700, 30193441130006700), (7664549986025275200, 8764724625167659200), ... (OEIS A038362 和 A038363)。第二組解是

2^(m-1)·M_m·3·7·11^2·17^2·19^2·23·127·307·359·3739·22433·68209[83·1931; 162287]
(8)

其中 m!=2!=3!=7，給出解

(78256237020415183195834116556854123, 79239609524574437586507591881740437),....
(9)

第三種類型是唯一解

2^(11)·3^7·13·17·19^2·23·41·127·227·271·541·2269·124429[29·569; 17099],
(10)
(6635175414464669669910912069594519552, 6875635683408968346512737741833627648).
(11)

考慮更一般形式的多項式

R_(k,n)(a,b)=((a+b)^n)/(k(a^(n-1)+b^(n-1))),
(12)

Kohmoto 發現了 (k,n)=(2,4) 的解

2^(m-1)·M_m·3·5·7·23^2·59·79·137·547·2477·158527·173428537·8671426849·[83·1931; 162287]
(13)

對於 m，梅森素數的指數，但排除 m=2 和 3。

Kohmoto (私人通訊，2004 年 2 月) 還發現了 (6,6) 的解

2^(m-1)·M_m·3^(10)·5·11·13·17·23^3·41·43·53^2·59·89·103·107·229·409·823·1031·1801·1831·3851·4271·19751·9322471·[83·1931; 162287]
(14)

對於 m，梅森素數的指數，但排除 m=2。

考慮以下形式的多項式

R_(r/s)(a,b)=r/s((a+b)^3)/(a^2+ab+b^2),
(15)

對於 r/s=3/2，Kohmoto 發現了以下解

2^8·3^2·13·17·41·53·73^2·1801·11971[5·11; 71].
(16)

考慮以下形式的多項式

R_k(a,b)=(kab)/(a+b),
(17)

或等價地，

1/(sigma(a))=1/(sigma(b))=1/(ka)+1/(kb).
(18)

Kohmoto 發現了下表列出的解。

k(a,b)
6(1537536, 2269696)
8(22405565952, 21500290560)
9(8509664043532288000, 5783455883132928000)

另請參閱

親和數對

此條目由 Yasutoshi Kohmoto 貢獻

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參考文獻

Sloane, N. J. A. “整數序列線上百科全書”中的序列 A038362 和 A038363。

在 中被引用

有理親和數對

請引用為

Kohmoto, Yasutoshi。“有理親和數對”。來自 —— 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/RationalAmicablePair.html

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