奇完全數

在《幾何原本》卷九中，歐幾里得給出了一種構造完全數的方法（Dickson 2005, p. 3），儘管此方法僅適用於偶完全數。在 1638 年寫給梅森的信中，笛卡爾提出每個偶完全數都符合歐幾里得的形式，並表示他看不出奇完全數不可能存在的理由（Dickson 2005, p. 12）。因此，笛卡爾是最早考慮奇完全數存在性的人之一；在笛卡爾之前，許多作者都隱含地（未經證明地）假定，歐幾里得構造法生成的完全數包含了所有可能的完全數（Dickson 2005, pp. 6-12）。1657 年，弗renicle 重複了笛卡爾的觀點，即每個偶完全數都符合歐幾里得的形式，並且沒有理由認為奇完全數不可能存在。與弗renicle 一樣，尤拉也考慮了奇完全數。

至今，尚不清楚是否存在奇完全數，儘管已對高達 的數進行了檢查，但均未成功，這使得奇完全數的可能性看起來不大 (Ochem and Rao 2012)。下表總結了最小可能奇完全數的更高上限的發展歷程。

作者	上限
Kanold (1957)
Tuckerman (1973)
Hagis (1973)
Brent 和 Cohen (1989)
Brent 等人 (1991)
Ochem 和 Rao (2012)

尤拉證明，如果奇完全數存在，則它必須具有以下形式

(1)

其中 是 形式的素數（費馬 4n+1 定理；Burton 1989），這個結果類似於 Frenicle 在 1657 年得出的結果 (Dickson 2005, pp. 14 和 19)。換句話說，奇完全數必須具有以下形式

(2)

對於不同的奇素數 , , ..., ，其中 (mod 4)。Steuerwald (1937) 隨後證明，s 不能全部為 1 (Yamada 2005)。

Touchard (1953) 證明，如果奇完全數存在，則它必須具有 或 的形式 (Holdener 2002)。

1896 年，Stuyvaert 指出，奇完全數必須是兩個平方數之和 (Dickson 2005, p. 28)。1887 年，Sylvester 猜想，1925 年，Gradshtein 證明，任何奇完全數都必須至少有六個不同的素因子 (Ball and Coxeter 1987)。Hagis (1980) 表明，奇完全數必須至少有八個不同的素因子，在這種情況下，該數可被 15 整除 (Voight 2003)。

1888 年，Catalan 證明，如果一個奇完全數不能被 3、5 或 7 整除，則它至少有 26 個不同的素因子，Norton (1960) 將此擴充套件到 27 個。Norton (1960) 表明，不能被 3 或 5 整除的奇完全數，必須至少有 15 個不同的素因子。Neilsen (2006) 改進了 Hagis (1980) 的上限，表明如果一個奇完全數不能被 3 整除，則它必須至少有 12 個不同的素因子。Nielsen (2006) 還表明，一般的奇完全數，如果存在，則必須至少有 9 個不同的素因子。

最近，Hare (2005) 表明，任何奇完全數都必須有 75 個或更多素因子。改進此上限需要分解幾個大數 (Hare)，目前正在嘗試使用橢圓曲線分解法在以下網址執行這些分解：mersenneforum.org和OddPerfect.org。Ochem 和 Rao (2012) 隨後表明，任何奇完全數都至少有 101 個素因子（不一定不同）。

對於奇完全數的最大素因子，Iannucci (1999, 2000) 和 Jenkins (2003) 致力於尋找下限。最大的三個因子必須至少為 100000007、10007 和 101。Goto 和 Ohno (2006) 驗證了使用 Jenkins 方法的擴充套件，最大因子必須至少為 100000007。Ochem 和 Rao (2012) 隨後表明，最大分量（即除數 ，其中 為素數）大於 。

對於所有偶數冪都小於 6 的奇完全數的最小素因子，Yamada (2005) 確定了上限為

對於任何具有 個素因子且 的奇完全數，Kishore (1981) 透過證明以下內容，建立了奇完全數小因子的上限：

(3)