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費馬 4n+1 定理

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費馬 4n+1 定理，有時稱為費馬平方和定理或簡稱為“費馬定理”，指出素數 素數 p 可以以基本唯一的方式（直到 加數 的順序）表示為 x^2+y^2 的形式，其中 整數 x 和 y 當且僅當 p=1 (mod 4) 或 p=2 （這是 x=y=1 的退化情況）。該定理由費馬提出，但第一個發表的證明是由尤拉給出的。

前幾個模 4 餘 1 或 2 的素數 p 是 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, ... (OEIS A002313)（其中唯一模 4 餘 2 的素數是 2）。使得 x^2+y^2 等於這些素數的數對 (x,y) 是 (1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 4), (2, 5), (1, 6), ... (OEIS A002331 和 A002330)。

該定理可以重新表述為令

Q(x,y)=x^2+y^2,

那麼所有 互素 解 (x,y) 到表示 Q(x,y)=m 對於任何 m 整數 的問題，都可以透過連續應用 虧格定理 和 組合定理 來實現。

另請參閱

Choquet 理論, 丟番圖方程--二次冪, Eisenstein 整數, 尤拉 6n+1 定理, 費馬小定理, 謝爾賓斯基素數序列定理, 平方數

使用 探索

參考文獻

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 146-147 and 220-223, 1996.Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 13 and 219, 1979.Séroul, R. "Prime Number and Sum of Two Squares." §2.11 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 18-19, 2000.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 142-143, 1993.Sloane, N. J. A. Sequences A002313/M1430, A002330/M000462, and A002331/M0096 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 上被引用

費馬 4n+1 定理

引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "費馬 4n+1 定理。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/Fermats4nPlus1Theorem.html

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