主題
Search

丟番圖方程——二次冪

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram 筆記本

一個關於兩個變數 x 和 y 的一般二次丟番圖方程由下式給出

ax^2+cy^2=k,
(1)

其中 a、 c 和 k 是指定的（正或負）整數，而 x 和 y 是滿足方程的未知整數，我們需要求出它們的值。稍微更一般的二階方程

ax^2+bxy+cy^2=k
(2)

是高斯《算術研究》中的主要主題之一。根據伊藤 (1987) 的說法，方程 (2) 可以使用 佩爾方程 的解來完全求解。特別地，所有

ax^2+bxy+cy^2=1
(3)

的解都包含在 ax^2+bx+c 的根的 連分數 的 收斂項 中。

通用二元二次丟番圖方程的解在 Wolfram 語言 中實現為化簡 (Reduce)[eqn &&Element[x|y,Integers], {x, y}].

對於超過兩個變數的二次丟番圖方程，C. L. Siegel 給出了更深入的結果。

一個 形式為 的方程

x^2-Dy^2=1,
(4)

其中 D 是一個 整數，這是一個非常特殊的方程型別，稱為 佩爾方程。佩爾方程以及右側帶有負號的類似方程，可以透過找到 sqrt(D) 的 連分數 來求解。更復雜的方程

x^2-Dy^2=c
(5)

對於 c 和 D 的某些值也可以求解，但過程更加複雜 (Chrystal 1961)。然而，如果已知方程 (5) 的一個解，則可以使用 佩爾方程 的標準技術找到其他解。

下表總結了給定形式的素數 p 的可能表示形式，其中 x 和 y 是正整數。除了指出的那些奇素數外，沒有其他奇素數具有這些性質 (Nagell 1951, p. 188)。

形式p 的同餘式
x^2+y^2=1 (mod 4)
x^2+2y^2=1,3 (mod 8)
x^2+3y^2=1 (mod 6)
x^2+7y^2=1,9,11 (mod 14)
2x^2+3y^2=5,11 (mod 24)

作為 華林問題 研究的一部分，已知每個正整數都是不超過 4 個正平方數的和 (g(2)=4; 拉格朗日四平方定理)，每個“足夠大”的整數都是不超過 4 個正平方數的和 (G(2)=4)，並且每個整數都是至多 3 個帶符號平方數的和 (eg(2)=3)。如果將零算作平方數，則包括 正 數和 負 數，並且區分兩個平方數的順序，雅可比表明，一個數可以寫成兩個平方數之和的方式的數量（r_2(n) 函式）是 除數 形式 4x+1 的數量與 除數 形式 4x-1 的數量之差的四倍。

給定方程的初始解 (x,y,z)=(m,n,p)

ax^2+bxy+cy^2=dz^2,
(6)

可以使用以下恆等式找到二次引數化

(ax^2+bxy+cy^2-dz^2) =(am^2+bmn+cn^2-dp^2)(au^2+buv+cv^2)^2,
(7)

其中

x=(am+bn)u^2+2cnuv-cmv^2
(8)
y=-anu^2+2amuv+(bm+cn)v^2
(9)
z=p(au^2+buv+cv^2)
(10)

對於任意 u,v (T. Piezas, 私人通訊，2006 年 4 月 28 日)。

1769 年，尤拉 (Euler) (1862) 注意到恆等式

alphab(apr+/-betaqs)^2+abeta(alphaps∓bqr)^2=(aalphap^2+bbetaq^2)(abr^2+alphabetas^2),
(11)

這給出了方程的引數解

Ax^2+By^2=C
(12)

對於整數 A,B,C,x,y，其中 C 是合數 (Dickson 2005, p. 407)。

將由求 m 個 k 次 冪 之和等於 n 個 k 次 冪 之和的丟番圖方程稱為“k.m.n 方程”。2.1.2 二次丟番圖方程

A^2=B^2+C^2,
(13)

對應於找到一個 勾股三元組 (A、 B、 C)，它有一個眾所周知的通解 (Dickson 2005, pp. 165-170)。為了解這個方程，請注意，每個 素數 形式 4x+1 都可以用 唯一 的方式表示為兩個 互質 平方數的和。滿足 2.1.3 方程的一組 整數

A^2=B^2+C^2+D^2
(14)

稱為 勾股四元組。

2.2.2 方程的引數解

A^2+B^2=C^2+D^2
(15)

是已知的 (Dickson 2005; Guy 1994, p. 140)。解的數量由 平方和函式 r_2(n) 給出。

一個 形式為 的方程的解

(A^2+B^2)(C^2+D^2)=E^2+F^2
(16)

由 斐波那契恆等式 給出

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+/-bd)^2+(bc∓ad)^2=e^2+f^2.
(17)

另一個類似的恆等式是 尤拉四平方恆等式

(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)(c_1^2+c_2^2)(d_1^2+d_2^2)=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2
(18)
(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2) =(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4)^2+(a_1b_2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3)^2+(a_1b_3-a_2b_4+a_3b_1+a_4b_2)^2+(a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2+a_4b_1)^2.
(19)

德根八平方恆等式 適用於八個平方數，但不適用於其他數字，正如凱萊證明的那樣。二平方恆等式是 三角學 的基礎，四平方恆等式是 四元數 的一些基礎，而八平方恆等式是 凱萊代數（一種非交換非結合代數；Bell 1945）的基礎。

陳樹文發現了 2.6.6 方程

87^2+233^2+264^2+396^2+496^2+540^2=90^2+206^2+309^2+366^2+522^2+523^2.
(20)

拉馬努金平方方程

2^n-7=x^2
(21)

已被證明只有解 n=3、4、5、7 和 15 (Schroeppel 1972; OEIS A060728)。在一個未發表的證明中，尤拉表明二次丟番圖方程

2^n=7x^2+y^2
(22)

對於每個正數 n>=3 都有唯一解，其中 x 和 y 都是奇數且為正數 (Engel 1998, p. 126)。令人驚訝的是，這些可以解析地表示為

x=(2^(n/2))/(sqrt(7))|sin[ntan^(-1)(sqrt(7))]|
(23)
y=2^(n/2)|cos[ntan^(-1)(sqrt(7))]|,
(24)

這與 二次域 Q(sqrt(-7)) 中整數環元素的範數有關，該二次域表現出唯一分解性 (Hickerson 2002)。對於 n=1、2、3、... 的前幾個解 (x,y) 是 (1, 1)、(1, 3)、(1, 5)、(3, 1)、(1, 11)、(5, 9)、(7, 13)、(3, 31)、... (OEIS A077020 和 A077021)。

另請參閱

代數學, 炮彈問題, 連分數, 丟番圖方程, 尤拉四平方恆等式, 虧格定理, 希爾伯特符號, 拉格朗日數, 勒貝格恆等式, 佩爾方程, 勾股四元組, 勾股三元組, 二次剩餘, 拉馬努金平方方程, 平方數, 平方和函式, 華林問題

使用 探索

參考文獻

Beiler, A. H. "The Pellian." Ch. 22 in Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. New York: Dover, pp. 248-268, 1966.Bell, E. T. The Development of Mathematics, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 159, 1945.Chrystal, G. Textbook of Algebra, 2 vols. New York: Chelsea, 1961.Degan, C. F. Canon Pellianus. Copenhagen, Denmark, 1817.Dickson, L. E. "Number of Representations as a Sum of 5, 6, 7, or 8 Squares." Ch. 13 in Studies in the Theory of Numbers. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1930.Dickson, L. E. "Pell Equation; ax^2+bx+c Made a Square" and "Further Single Equations of the Second Degree." Chs. 12-13 in History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, pp. 341-434, 2005.Engel, A. Problem-Solving Strategies. New York: Springer-Verlag, 1998.Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1994.Hickerson, D. "Re: Diophantine sequence" seqfan@ext.jussieu.fr mailing list. 17 Oct 2002.Itô, K. (Ed.). Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 1. Cambridge, MA: MIT Press, p. 450, 1987.Lam, T. Y. The Algebraic Theory of Quadratic Forms. Reading, MA: W. A. Benjamin, 1973.Nagell, T. "Diophantine Equations of the Second Degree." Ch. 6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 188-226, 1951.Rajwade, A. R. Squares. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1993.Scharlau, W. Quadratic and Hermitian Forms. Berlin: Springer-Verlag, 1985.Schroeppel, R. Item 31 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 14, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item31.Shapiro, D. B. "Products of Sums and Squares." Expo. Math. 2, 235-261, 1984.Sloane, N. J. A. Sequences A060728, A077020, and A077021 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smarandache, F. "Un metodo de resolucion de la ecuacion diofantica." Gaz. Math. 1, 151-157, 1988.Smarandache, F. "Method to Solve the Diophantine Equation ax^2-by^2+c=0." In Collected Papers, Vol. 1. Bucharest, Romania: Tempus, 1996.Taussky, O. "Sums of Squares." Amer. Math. Monthly 77, 805-830, 1970.Whitford, E. E. The Pell Equation. New York: Columbia University Press, 1912.

請引用為

Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--2nd Powers." 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/DiophantineEquation2ndPowers.html

學科分類