主題
Search

平方和函式

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram 筆記本

數字 n 表示為 k 個平方和的方法數，允許零並區分符號和順序，表示為 r_k(n)。 特殊情況 k=2 對應於兩個平方和，通常簡稱為 r_2(n)=r(n) (例如，Hardy 和 Wright 1979, p. 241; Shanks 1993, p. 162)。

例如，考慮將 5 表示為兩個平方和的方法數

5=(-2)^2+(-1)^2
(1)
=(-2)^2+1^2
(2)
=2^2+(-1)^2
(3)
=2^2+1^2
(4)
=(-1)^2+(-2)^2
(5)
=(-1)^2+2^2
(6)
=1^2+(-2)^2
(7)
=1^2+2^2
(8)

所以 r_2(5)=8。 類似地，

4=(-2)^2+0^2+0^2
(9)
=0^2+(-2)^2+0^2
(10)
=0^2+0^2+(-2)^2
(11)
=0^2+0^2+2^2
(12)
=0^2+2^2+0^2
(13)
=2^2+0^2+0^2,
(14)

所以 r_3(4)=6。

Wolfram 語言 函式SquaresR[k, n] 給出 r_k(n)。 相比之下，函式PowersRepresentations[n, k, 2] 給出 n 表示為 k 個平方和的無序無符號列表，例如，給出 5=1^2+2^2 作為 5 的唯一“獨特”表示。

函式 r_2(n) 與 萊布尼茨級數 和 高斯圓問題 密切相關 (Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999, pp. 27-39)。 它也由序列 b_(2n)=0 和 b_(2n+1)=4(-1)^n 的逆莫比烏斯變換給出 (Sloane 和 Plouffe 1995, p. 22)。 r_2(n) 的平均階數為 pi，但正常階數為 0 (Hardy 1999, p. 55)。

雅可比給出了 r_k(n) 在 k=2、4、6 和 8 情況下的解析表示式 (Jacobi 1829; Hardy 和 Wright 1979, p. 316; Hardy 1999, p. 132)。 k=2、4 和 6 的情況是透過等同 係數 雅可比 theta 函式 theta_3(x), theta_3^2(x), 和 theta_3^4(x) 找到的。 k=10 和 12 的解由 Liouville (1864, 1866) 和 Eisenstein (Hardy 和 Wright 1979, p. 316) 找到，Glaisher (1907) 給出了至多 r_(2s)(n) 在 2s=18 情況下的表格。 然而，2s=14 和 2s=16 的公式包含僅定義為模函式係數的函式，而不是算術定義的函式 (Hardy 和 Wright 1979, p. 316)。 Ramanujan (2000) 將 Glaisher 的表格擴充套件到 k=24。 Boulyguine (1915) 找到了 r_(2s)(n) 的通用公式，其中每個函式都有算術定義 (Hardy 和 Wright 1979, p. 316; Dickson 2005, p. 317)。

r_3(n) 由狄利克雷發現，以涉及二次互反律符號的有限和的形式給出。 r_5(n) 和 r_7(n) 由 Eisenstein、Smith 和 Minkowski 發現。 Mordell、Hardy 和 Ramanujan 開發了一種適用於奇數個平方和表示的方法 (Hardy 1920; Mordell 1920, 1923; Estermann 1937; Hardy 1999)。

要查詢正整數 n>1 可以表示為 k=2 個平方和的多少種方式忽略順序和符號，將其分解為

n=2^(a_0)p_1^(2a_1)...p_r^(2a_r)q_1^(b_1)...q_s^(b_s),
(15)

其中 p_i 是 形如 4k+3 的素數，q_i 是 形如 4k+1 的素數。 如果 n 沒有整數 a_i 這樣的表示，因為一個或多個 p_i 的冪是奇數，則沒有表示。 否則，定義

B=(b_1+1)(b_2+1)...(b_r+1).
(16)

那麼，忽略順序和符號，將 n 表示為兩個平方和的方法數由下式給出

r_2^'(n)={0 if any a_i is a half-integer; 1/2B if all a_i are integers and B is even; 1/2(B-(-1)^(a_0)) if all a_i are integers and B is odd
(17)

(Beiler 1966, pp. 140-142)。

類似地，r_2(n) 對於 n>1 由下式給出

r_2(n)={0 if any a_i is a half-integer; 4B if all a_i are integers.
(18)

一個 正整數 可以表示為兩個平方和，當且僅當 其每個 形如 4k+3 的 素因子 以偶數次冪出現時，正如尤拉在 1738 年首次確立的那樣。 在 拉格朗日四平方定理 中，拉格朗日證明了每個 正整數 都可以寫成最多四個 平方數 的 和，儘管對於 形如 4^n(8k+7) 的數字，四個可以減少到三個。

丟番圖首先研究了一個等同於尋找三個平方和為 3a+1 的問題，並指出對於這個問題，a 不得為 8n+2 的形式，但這只是一個不充分的條件 (Dickson 2005, p. 259)。 1621 年，Bachet 隨後排除了 8n+2 和 32n+9。 最後，費馬 (ca. 1636) 指出 Bachet 的條件未能排除 a=37、149 等，並給出了正確的充分條件，即 a 不得為 ((24k+7)4^n-1)/3 的形式，因此 3a+1 不得為 (24k+7)4^n 的形式，或等效地 (8m+7)4^n。

1636 年，費馬指出，沒有 形如 8k+7 的整數是三個有理數平方和，1638 年，笛卡爾證明了對於整數平方和的情況。 1658 年，費馬隨後斷言（但未證明）2p，其中 p 是任意形如 8n-1 的素數（即，任何形如 8n+7 的素數）是三個平方和。 1775 年，拉格朗日對費馬的斷言取得了一些進展，但未能完全證明。 1785 年，勒讓德指出費馬的斷言對於所有奇數（不僅僅是素數）都成立，然後給出了一個不完整的證明，即每個數或其兩倍都是三個平方和。

Beguelin (1774) 曾得出結論，每個與 1、2、3、5 或 6 (mod 8) 同餘的整數都是三個平方和，但沒有充分的證明 (Dickson 2005, p. 15)。 然後，在勒讓德 1798 年的數論中，勒讓德證明了每個不是 8n+7 或 4n 形式的正整數都是沒有公因子的三個平方和 (Nagell 1951, p. 194; Wells 1986, pp. 48 and 56; Hardy 1999, p. 12; Savin 2000)。

當 r_2(n) 具有 形如 4k+3 的 素數 因子的 奇數 冪時，r_2(n) 為 0； 當達到新的 形如 4k+1 的 素數 時，它會翻倍。 前幾個值是 1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 12, 8, 0, 0, ... (OEIS A004018)。 Lambert 級數 由下式給出

sum_(n=1)^inftyr_2(n)x^n=4sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1)x^(2n+1))/(1-x^(2n+1))
(19)

(Hardy 和 Wright 1979, p. 258)。 r_2(n) 的 生成函式 由下式給出

sum_(n=0)^(infty)r_2(n)x^n=((q^2)_infty^(10))/((q)_infty^4(q^4)_infty^4)
(20)
=theta_3^2(x)
(21)
=1+4x+4x^2+4x^4+8x^5+4x^8+4x^9
(22)

其中 theta_3(q) 是 雅可比橢圓函式，(q)_infty 是 q-Pochhammer 符號。

它由下式顯式給出

r_2(n)=4sum_(d=1,3,...|n)(-1)^((d-1)/2)
(23)
=4[d_1(n)-d_3(n)]
(24)
=4sum_(d|n)sin(1/2pid),
(25)

其中 d_k(n) 是 n 的 形如 4m+k 的 約數 的數量 (Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999, pp. 37-38; Hardy 1999, p. 12)。

r_2(n) 服從以下出乎意料的恆等式

sum_(n=0)^infty(r_2(n))/(sqrt(n+a))e^(-2pisqrt((n+a)b))=sum_(n=0)^infty(r_2(n))/(sqrt(n-b))e^(-2pisqrt((n+b)a))
(26)

對於 R[sqrt(a)],R[sqrt(b)]>0,

sum_(0<=n<=x)(r_2(n))/(sqrt(x-n))=2pisqrt(x)+sum_(n=1)^infty(r_2(n))/(sqrt(n))sin(2pisqrt(nx))
(27)

和

sum_(0<=n<=x)r_2(n)=pix+sqrt(x)sum_(n=1)^infty(r_2(n))/(sqrt(n))J_1(2pisqrt(nx))
(28)

(Hardy 1999, p. 82)。

由下式定義的求和函式的前幾個值（例如，Hardy 和 Wright 1979, p. 270）

R(N)=sum_(n=1)^Nr_2(n)
(29)

是 0, 4, 8, 8, 12, 20, 20, 20, 24, 28, 36, ... (OEIS A014198)，其中 Shanks (1993) 定義的修改函式是

R^*(N)=sum_(n=0)^(N)r_2(n)
(30)
=1+R(n)
(31)

下表給出了 R^*(n) 對於 10 的幾個冪的顯式值（Mitchell 1966; Shanks 1993, pp. 165 和 234）。

nR^*(10^n)
05
137
2317
33149
431417
5314197
63141549
8314159053
1031415925457
123141592649625
1431415926535058
r2

漸近結果包括

sum_(k=1)^(n)r_2(k)=pin+O(sqrt(n))
(32)
sum_(k=1)^(n)(r_2(k))/k=K+pilnn+O(n^(-1/2)),
(33)

其中 K 是一個稱為 Sierpiński 常數 的常數。 上面的左圖顯示了

[sum_(k=1)^nr_2(k)]-pin,
(34)

帶有曲線包絡線的 +/-sqrt(n)，右圖顯示了

[sum_(k=1)^n(r_2(k))/k]-pilnn,
(35)

其中 K 的值以實心水平線表示。

方程的解數

x^2+y^2+z^2=n
(36)

對於給定的 n，在不對 x、y 和 z 的符號或相對大小進行限制的情況下，由 r_3(n) 給出。 高斯證明，如果 n 是 無平方數 且 n>4，則

r_3(n)={24h(-n) for n=3 (mod 8); 12h(-4n) for n=1,2,5,6 (mod 8); 0 for n=7 (mod 8)
(37)

(Arno 1992)，其中 h(x) 是 x 的 類數。

r_3(n) 的 生成函式 由下式給出

sum_(n=0)^(infty)r_3(n)x^n=theta_3^3(x)
(38)
=1+6x+12x^2+8x^3+6x^4+24x^5+24x^6+12x^8+30x^9+...,
(39)

並且一般而言，

sum_(n=0)^inftyr_k(n)x^n=theta_3^k(x).
(40)

對於 r_4(n)，

r_4(n)=8sum_(d|n,4d)d.
(41)

對於 r_6(n) 和 r_8(n) 的恆等式由下式給出

r_6(n)=16sum_(d|n)chi(d^')d^2-4sum_(d|n)chi(d)d^2
(42)
r_8(n)=16sum_(d|n)(-1)^(n+d)d^3,
(43)

其中 d^'=n/d 和

chi(d)={1 if d=4k+1; -1 if d=4k-1; 0 if d=2k
(44)

(Jacobi 1829, §40-42; Smith 1965; Hardy 和 Wright 1979, p. 314)。

對於 r_(10)(n)，

r_(10)(n)=4/5[E_4(n)+16E_4^'(n)+8chi_4(n)],
(45)

其中

E_4(n)=sum_(d=1,3,...|n)(-1)^((d-1)/2)d^4
(46)
E_4^'(n)=sum_(d^'=1,3,...|n)(-1)^((d^'-1)/2)d^4
(47)
chi_4(n)=1/4sum_(a^2+b^2=n)(a+bi)^4.
(48)

Liouville (1864, 1866) 給出了這個方程和 r_(12)(n) 的方程。

r_(16)(n)=-(32)/3(-1)^n[sigma_1^'(n)+sigma_3^'(n)+sigma_5^'(n)]+(-1)^n(256)/3sum_(k=1)^(n-1)[sigma_1^'(k)sigma_5^'(n-k)-sigma_3^'(k)sigma_3^'(n-k)]
(49)
r_(24)(n)=rho_(24)(n)+(128)/(691)[(-1)^(n-1)259tau(n)-512tau(1/2n)]
(50)
=(-1)^n(16)/9[17sigma_3^('')(n)+8sigma_5^('')(n)+2sigma_7^('')(n)]+(-1)^n(512)/9sum_(k=1)^(n-1)[sigma_3^('')(k)sigma_7^('')(n-k)-sigma_5^('')(k)sigma_5^('')(n-k)],
(51)

其中

sigma_r^'(n)=sum_(d|n)(-1)^(d+n/d)d^r
(52)
sigma_r^('')(n)=sum_(d|n)(-1)^dd^r,
(53)

rho_(24)(n) 是所謂的 奇異級數，tau(n) 是 tau 函式。

對於更大的 偶數 k，存在類似的表示式，但它們很快變得極其複雜，只能用模函式展開式簡單地表示。

另請參閱

類數, 丟番圖方程--二次冪, 費馬多邊形數定理, 高斯圓問題, Landau-Ramanujan 常數, 萊布尼茨級數, 素因子, 本原勾股陣列, 勾股四元組, 勾股陣列, Sierpiński 常數, Tau 函式

使用 探索

WolframAlpha

更多嘗試

參考文獻

Arno, S. "The Imaginary Quadratic Fields of Class Number 4." Acta Arith. 60, 321-334, 1992.Beiler, A. H. 數論妙趣：數學女王的款待。 New York: Dover, 1966.Boulyguine, M. B. "Sur la représentation d'un nombre entier par une somme de carrés." Comptes Rendus Hebdomadaires de Séances de l'Académie des Sciences 161, 28-30, 1915.Dickson, L. E. 數論史，第 2 卷：丟番圖分析。 New York: Dover, pp. 259 和 317, 2005.Eisenstein, G. "Note sur la représentation d'un nombre par la somme de cinq carrés." J. reine angew. Math. 35, 368-369, 1847.Eisenstein, G. "Zur Theorie der quadratischen Zerfällung der Primzahlen 8n+3, 7n+2 und 7n+4." J. reine angew. Math. 37, 97-126, 1848.Estermann, T. "On the Representation of a Number as a Sum of Squares." Acta Arith. 2, 47-79, 1936. Reprinted in Prace mat.-fiz. 45, 93-125, 1937.Ewell, J. A. "New Representations of Ramanujan's Tau Function." Proc. Amer. Math. Soc. 128, 723-726, 1999.Glaisher, J. W. L. "On the Numbers of a Representation of a Number as a Sum of 2r Squares, where 2r Does Not Exceed 18." Proc. London Math. Soc. 5, 479-490, 1907.Grosswald, E. 整數表示為平方和。 New York: Springer-Verlag, 1985.Hardy, G. H. "On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares." Quart. J. Math. 46, 263-283, 1915.Hardy, G. H. "The Average Order of the Arithmetical Functions P(x) and Delta(x)." Proc. London Math. Soc. 15, 192-213, 1916.Hardy, G. H. "On the Representation of a Number as the Sum of Any Number of Squares, and Particular of Five." Trans. Amer. Math. Soc. 21, 255-284, 1920.Hardy, G. H. "The Representation of Numbers as Sums of Squares." Ch. 9 in 拉馬努金：關於其生平和工作啟發的十二次講座，第 3 版。 New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "函式 r(n)," "公式 r(n) 的證明," "函式 r(n) 的生成函式," 和 "函式 r(n) 的階數," 以及 "更多平方和的表示。" §16.9, 16.10, 17.9, 18.7, 和 20.13 in 數論導論，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 241-243, 256-258, 270-271, 和 314-315, 1979.Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. 幾何與想象。 New York: Chelsea, 1999.Jacobi; C. G. J. Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Königsberg, Germany, 1829.Jones, G. A. and Jones, J. M. "Sum of Squares." Ch. 10 in 初等數論。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 191-215, 1998.Liouville, J. "Extrait d'une lettre adressée a M. Besge (關於奇數的兩倍表示為 12 個平方和)." J. de math. pure et appl. 9, 296-298, 1864.Liouville, J. "Nombre des représentations d'un entier quelconque sous la forme d'une somme de dix carrés." J. de math. pure et appl. 11, 1-8, 1866.Milne, S. "Infinite Families of Exact Sums of Squares Formulas, Jacobi Elliptic Functions, Continued Fractions, and Schur Functions." Ramanujan J. 6, 7-149, 2002. Reprinted in Development in Mathematics 5. Boston, MA: Kluwer 2002.Minkowski, H. "Mémoire sur la théorie des formes quadratiques à coefficients entiers." Mémoirs présentés par divers savants à l'Academie des Sciences de l'Institut de France 29, 1-180, 1887.Mitchell, W. C. "The Number of Lattice Points in a k-Dimensional Hypersphere." Math. Comput. 20, 300-310, 1966.Mordell, L. J. "On the Representation of a Number as a Sum of 2^r Squares." Quart. J. Math. 48, 93-104, 1920.Mordell, L. J. "On the Representation of a Number as a Sum of an Odd Number of Squares." Trans. Cambridge Philos. Soc. 22, 361-372, 1923.Moreno, C. J. and Wagstaff, S. S. 整數平方和。 Chapman & Hall/CRC, 2005.Nagell, T. 數論導論。 New York: Wiley, 1951.Ramanujan, S. 斯里尼瓦薩·拉馬努金論文集 (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Savin, A. "Shape Numbers." Quantum 11, 14-18, 2000.Séroul, R. "Prime Number and Sum of Two Squares." §2.11 in 數學家程式設計。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 18-19, 2000.Shanks, D. 數論中已解決和未解決的問題，第 4 版。 New York: Chelsea, pp. 162-153, 1993.Sloane, N. J. A. Sequences A004018/M3218 and A014198 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. 整數序列百科全書。 San Diego, CA: Academic Press, 1995.Smith, H. J. S. "Mémoire sur la représentation des nombres par des sommes de cinq carrés." Mémoirs présentés par divers savants à l'Academie des Sciences de l'Institut de France, Ser. 2 29, No. 1, 1-72, 1887.Smith, H. J. S. 數論報告。 New York: Chelsea, 1965.Uspensky, J. V. "On Jacobi's Arithmetical Theorems Concerning the Simultaneous Representation of Numbers by Two Different Quadratic Forms." Trans. Amer. Math. Soc. 30, 385-404, 1928.Wagon, S. "The Magic of Imaginary Factoring." Mathematica in Education and Res. 5, 43-47, 1996.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的數字詞典。 Middlesex, England: Penguin Books, 1986.

在 上被引用

平方和函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "平方和函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SumofSquaresFunction.html

主題分類