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高斯圓問題

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GausssCircleProblem

計算 格點 N(r) 在以原點為圓心的 圓 的 半徑 r 邊界內的數量。精確解由以下和給出

N(r)=1+4|_r_|+4sum_(i=1)^(|_r_|)|_sqrt(r^2-i^2)_|
(1)
=1+4sum_(i=1)^(r^2)(-1)^(i-1)|_(r^2)/(2i-1)_|
(2)
=1+4sum_(i=0)^(infty)(|_(r^2)/(4i+1)_|-|_(r^2)/(4i+3)_|)
(3)

（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999, p. 39）。r=0, 1, ... 的前幾個值是 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, ... (OEIS A000328)。

N(r) 的級數與平方和函式 r(n) （即，n 表示為兩個平方和的表示數）密切相關，因為

N(r)=sum_(n=0)^(r^2)r(n)
(4)

（Hardy 1999, p. 67）。N(r) 也與萊布尼茨級數密切相關，因為

1/4[(N(r))/(r^2)-1/(r^2)]=1-1/3+1/5-1/7+...+/-1/r+/-(E(r))/r =1/4[pi+2Phi(-1,1,1/2+r)]+/-(E(r))/r =1/4[pi+psi_0(1/4(3+2r))-psi_0(1/4(1+2r))]+/-(E(r))/r,
(5)

其中 Phi(z,s,a) 是一個 Lerch 超越函式，psi_0(x) 是一個 digamma 函式，因此取極限 r->infty 得到

1/4pi=1-1/3+1/5-1/7+1/9+...
(6)

（Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999, p. 39）。

高斯表明

N(r)=pir^2+E(r),
(7)

其中

|E(r)|<=2sqrt(2)pir
(8)

（Hardy 1999, p. 67）。

GausssCirclePi

N(r)/r^2 的前幾個值是 5, 13/4, 29/9, 49/16, 81/25, 113/36, 149/49, 197/64, 253/81, 317/100, 377/121, 49/16, ... (OEIS A000328 和 A093837)。如上圖所示，r 使得 N(r)/r^2>pi 的值是 r=2, 3, 4, 6, 11, 16, 21, 36, 52, 53, 86, 101, ... (OEIS A093832)。

寫作 |E(r)|<=Cr^theta，關於 theta 的最佳界限是

1/2<theta<=131/208 approx 0.62981
(9)

（Huxley 2003）。下限 1/2 由 Hardy 和 Landau 於 1915 年獨立獲得。下表總結了上限的增量改進（根據 Hardy 1999, p. 81 更新）。

theta近似值引用
11.00000Dirichlet
2/30.66667Voronoi (1903), Sierpiński (1906), van der Corput (1923)
37/560.66071Littlewood 和 Walfisz (1925)
33/500.66000van der Corput (1922)
27/410.65854van der Corput (1928)
15/230.65217
24/370.64865Chen (1963), Kolesnik (1969)
35/540.64815Kolesnik (1982)
278/4290.64802Kolesnik
34/530.64151Vinogradov (1935)
7/110.63636Iwaniec 和 Mozzochi (1988)
46/730.63014Huxley (1993)
131/2080.62981Huxley (2003)

該問題也已擴充套件到圓錐曲線、橢球體 (Hardy 1915) 和更高維度。

參見

圓格點, 狄利克雷除數問題, 萊布尼茨級數, 辛策爾圓, 平方和函式

使用 探索

參考文獻

Bohr, H. and Cramér, H. "Ellipsoidprobleme." In "Die neuere Entwicklung der analytischen Zahlentheorie." Ch. IIC88 in Enzykl. d. Math. Wiss., Vol. 2, Part 3, Issue 2 II C 8, 823-824, 1922.Chen, J.-R. "The Lattice-Points in a Circle." Sci. Sinica 12, 633-649, 1963.Cilleruello, J. "The Distribution of Lattice Points on Circles." J. Number Th. 43, 198-202, 1993.Graham, S. W. and Kolesnik, G. Van Der Corput's Method of Exponential Sums. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1991.Guy, R. K. "Gauß's Lattice Point Problem." §F1 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 240-241, 1994.Hardy, G. H. "On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares." Quart. J. Math. 46, 263-283, 1915.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. 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在 中被引用

高斯圓問題

請引用為

Weisstein, Eric W. “高斯圓問題。” 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/GausssCircleProblem.html

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