圓格點

對於每個 正整數 ，都存在一個 圓，其內部恰好包含 個格點。 H. Steinhaus 證明了對於每個 正整數 ，都存在一個 圓，其 面積 為 ，且內部恰好包含 個格點。

辛澤爾定理 表明，對於每個 正整數 ，都存在一個 圓，位於 平面 上，其 圓周 上恰好有 個 格點。 該定理還明確指出了這樣的“辛澤爾圓”為

(1)

但是請注意，這些解不一定具有最小可能的 半徑。 例如，雖然中心位於 (1/3, 0) 且 半徑 為 625/3 的 辛澤爾圓 的 圓周 上有九個格點，但中心位於 (1/3, 0) 且 半徑 為 65/3 的 圓 也是如此。

設 為中心位於 原點 (0, 0) 且具有 個 格點 的 圓 的最小 整數 半徑。 為了找到 圓 的格點數，只需找到第一象限中的數量，即那些滿足 的點，其中 是 向下取整函式。 稱此數為 ，那麼對於 ，，因此 。 乘以八計算了所有八個象限，減去四消除了軸上的點，因為乘法將軸上的點計算了兩次。（由於 是 無理數，因此弧的中點永遠不是 格點。）

高斯圓問題 詢問 半徑 為 的 圓 *內部* 的格點數

(2)

高斯證明了

(3)

其中

(4)

中心位於 (0, 0) 的半徑為 的圓的 圓周 上的格點數為 ，其中 是 平方和函式。 半徑為 0, 1, 2, ... 且中心位於原點的圓的圓周上的格點數因此為 1, 4, 4, 4, 4, 12, 4, 4, 4, 4, 12, 4, 4, ... (OEIS A046109)。

下表給出了半徑 的最小值，對於中心位於 (0, 0) 且具有給定數量的 格點 的圓 (OEIS A006339)。 請注意， 也是 個不同的 勾股三元組 的最小斜邊。 格點的高水位數為 1, 5, 25, 125, 3125, ... (OEIS A062875)，相應的半徑為 4, 12, 20, 28, 44, ... (OEIS A062876)。

如果 圓 的中心改為 (1/2, 0)，則 半徑 為 1/2、3/2、5/2、... 的 圓 的 圓周 上有 2、2、6、2、2、2、6、6、6、2、2、2、10、2、... (OEIS A046110)。 如果 圓 的中心改為 (1/3, 0)，則 半徑 為 1/3、2/3、4/3、5/3、7/3、8/3、... 的 圓 的 圓周 上的格點數為 1、1、1、3、1、1、3、1、3、1、1、3、1、3、1、1、5、3、... (OEIS A046111)。

設

1. 為中心位於 (0, 0) 且 圓周 上有 個格點的 圓 的 半徑，

2. 為中心位於 (1/2, 0) 且 圓周 上有 個格點的 圓 的 半徑，

3. 為中心位於 (1/3, 0) 且 圓周 上有 個格點的 圓 的 半徑。

那麼序列 、 和 是相等的，除了當 如果 時， 如果 時。 然而，在三種情況下，具有上述格點數的*最小*半徑序列是相等的，並由 1、5、25、125、65、3125、15625、325、... (OEIS A006339) 給出。

庫利科夫斯基定理 指出，對於每個 正整數 ，都存在一個三維 球體，其表面上恰好有 個 格點。 該 球體 由以下公式給出

(5)

其中 和 是所謂的 辛澤爾圓 的中心的座標， 是其 半徑 (Honsberger 1973)。