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德根八平方恆等式

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德根八平方恆等式是一個令人難以置信的多項式恆等式

(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2+h^2)(m^2+n^2+o^2+p^2+q^2+r^2+s^2+t^2) =(am-bn-co-dp-eq-fr-gs-ht)^2+(bm+an+do-cp+fq-er-hs+gt)^2+(cm-dn+ao+bp+gq+hr-es-ft)^2+(dm+cn-bo+ap+hq-gr+fs-et)^2+(em-fn-go-hp+aq+br+cs+dt)^2+(fm+en-ho+gp-bq+ar-ds+ct)^2+(gm+hn+eo-fp-cq+dr+as-bt)^2+(hm-gn+fo+ep-dq-cr+bs+at)^2
(1)

由丹麥數學家費迪南德·德根（Ferdinand Degen，1766-1825）於 1818 年左右發現。後來它被獨立地重新發現兩次：1843 年由法學家和數學家約翰·托馬斯·格雷夫斯（John Thomas Graves，1806-1870）發現，1845 年由阿瑟·凱萊（Arthur Cayley，1821-1895）發現。由於該恆等式源於兩個八元數的乘積的範數是範數的乘積這一事實，八元數有時被稱為凱萊數。

給定一個形式為 n 個平方和的恆等式

(x_1^2+...+x_n^2)(y_1^2+...+y_n^2)=z_1^2+...+z_n^2,
(2)

其中 z_i 是關於獨立變數 x_i 和 y_i 的雙線性函式，阿道夫·赫維茨 (Adolf Hurwitz) 於 1898 年證明，只有當 n=1, 2, 4, 8 時，這樣的恆等式才是可能的。 情況 n=2 對應於恆等式

(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=(a_2b_1+a_1b_2)^2+(a_1b_1-a_2b_2)^2
(3)

而情況 n=4 對應於 尤拉四平方恆等式，n=8 對應於德根八平方恆等式。

如果 z_i 只是 x_i 和 y_i 的有理函式，那麼阿爾布雷希特·普菲斯特 (Albrecht Pfister) 於 1967 年證明，可以找到 n 的任意 2 的冪的恆等式。

另請參閱

尤拉四平方恆等式, 斐波那契恆等式, 八元數

此條目由 Tito Piezas III 貢獻

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參考資料

Piezas, T. "The Degen-Graves-Cayley Eight-Square Identity." http://www.geocities.com/titus_piezas/DegenGraves1.htm.

在 中引用

德根八平方恆等式

請引用為

Piezas, Tito III. "德根八平方恆等式。" 來自 --由 Eric W. Weisstein 建立的 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/DegensEight-SquareIdentity.html

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