拉斯卡爾三角形

拉斯卡爾三角形是一個 數三角形，其中的數字以交錯的行排列，使得

對這個三角形的公開研究似乎起源於相對較近的時期，在 2002 年才被新增到斯隆整數數列線上大全 (OEIS) 中，被編目為[t]對角線為 與 模 同餘的三角形——並且直到 2010 年才成為學術數學出版物的主題 (Anggoro et al. 2010)。這個三角形有時不使用大寫字母，寫成拉斯卡爾三角形。

關於拉斯卡爾三角形的文獻中一個常見的論述點是它與 帕斯卡三角形 的相似性。實際上，拉斯卡爾三角形在主題上與帕斯卡三角形相似，因為以 開頭的配置如下所示

並且之後的行，其第一個和最後一個條目等於

分別。

相似之處還不止於此。關於帕斯卡三角形的一個眾所周知的事實是，每行的內部條目由所謂的倒三角形公式決定

如上圖所示。

另一方面，拉斯卡爾三角形的行的內部條目由所謂的菱形公式決定，形式如下

由此可以計算出拉斯卡爾三角形的前幾行，形式如下

(OEIS A077028)。令人驚訝的是，拉斯卡爾三角形的每個內部條目仍然是 整數 值，儘管事實上，如 () 中所示，每個這樣的條目都是使用整數 除法 計算出來的 (Anggoro et al. 2010)。

透過檢查拉斯卡爾三角形的前幾行，可以假設其許多重要的數論性質的有效性。例如，給定的值支援以下主張 (OEIS A077028)：th 對角線 的每個元素都與 1 模 同餘，例如，在第四條對角線中，其中的每一個

都與 1 模 3 同餘。這裡，。此外，人們注意到 th 行 th 行上的數字 似乎是——並且確實是——精確地是 th 行 th 對角線上的數字 (Anggoro et al. 2010)，其中，這裡， 並且排除了第 0 行。這個觀察結果對於證明拉斯卡爾三角形完全由整陣列成至關重要。

拉斯卡爾三角形還有許多其他有趣的性質。例如，拉斯卡爾三角形的行之和是所謂的 蛋糕數 (OEIS A000125)

其他幾位作者已經注意到拉斯卡爾三角形中的數字與數學的各個其他領域之間存在有趣的聯絡，包括 群論、線性代數 和幾何分析。