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巢狀根式

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形如 如下形式 的表示式

lim_(k->infty)x_0+sqrt(x_1+sqrt(x_2+sqrt(...+x_k)))
(1)

被稱為巢狀根式。Herschfeld (1935) 證明了 實數 非負 項的巢狀根式收斂 當且僅當 (x_n)^(2^(-n)) 有界。他還將此結果擴充套件到任意冪（包括連平方根和連分數），此結果被稱為 Herschfeld 收斂定理。

巢狀根式出現在 pi 的計算中，

2/pi=sqrt(1/2)sqrt(1/2+1/2sqrt(1/2))sqrt(1/2+1/2sqrt(1/2+1/2sqrt(1/2)))...
(2)

(Vieta 1593; Wells 1986, p. 50; Beckmann 1989, p. 95)，以及 三角 函式中 餘弦 和 正弦 的值，其自變數形如 pi/2^n，例如，

sin(pi/8)=1/2sqrt(2-sqrt(2))
(3)
cos(pi/8)=1/2sqrt(2+sqrt(2))
(4)
sin(pi/(16))=1/2sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2)))
(5)
cos(pi/(16))=1/2sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2))).
(6)

巢狀根式也出現在 黃金比例 的計算中

phi=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+...))))
(7)

和 塑膠常數

P=RadicalBox[{1, +, RadicalBox[{1, +, RadicalBox[{1, +, ...}, 3]}, 3]}, 3].
(8)

這兩者都是以下公式的特例

x=RadicalBox[{a, +, RadicalBox[{a, +, ...}, n]}, n],
(9)

可以將其指數化得到

x^n=a+RadicalBox[{a, +, RadicalBox[{a, +, ...}, n]}, n],
(10)

因此解為

x^n=a+x.
(11)

特別地，對於 n=2，這給出

x=1/2(1+sqrt(4a+1)).
(12)

白銀常數 與巢狀根式表示式相關

RadicalBox[{7, +, 7, RadicalBox[{7, +, ...}, 3]}, 3].
(13)

存在許多巢狀根式的通用公式 (Wong and McGuffin)。例如，

x=RadicalBox[{{(, {1, -, q}, )}, {x, ^, n}, +, q, {x, ^, {(, {n, -, 1}, )}}, RadicalBox[{{(, {1, -, q}, )}, {x, ^, n}, +, q, {x, ^, {(, {n, -, 1}, )}}, RadicalBox[..., n]}, n]}, n]
(14)

這給出了以下特殊情況

(b+sqrt(b^2+4a))/2=sqrt(a+bsqrt(a+bsqrt(a+bsqrt(...))))
(15)

(n=2, q=1-a/x^2, x=b/q),

x=RadicalBox[{{x, ^, {(, {n, -, 1}, )}}, RadicalBox[{{x, ^, {(, {n, -, 1}, )}}, RadicalBox[{{x, ^, {(, {n, -, 1}, )}}, RadicalBox[..., n]}, n]}, n]}, n]
(16)

(q=1)，以及

x=sqrt(xsqrt(xsqrt(xsqrt(xsqrt(...)))))
(17)

(q=1,n=2)。公式 (14) 也引出了

q^((n^k-1)/(n-1))x^(n^j)=RadicalBox[{{q, ^, {(, {{(, {{n, ^, {(, {k, +, 1}, )}}, -, n}, )}, /, {(, {n, -, 1}, )}}, )}}, {(, {1, -, q}, )}, {x, ^, {(, {n, ^, {(, {j, +, 1}, )}}, )}}, +, ...}, n] ...+RadicalBox[{{q, ^, {(, {{(, {{n, ^, {(, {k, +, 2}, )}}, -, n}, )}, /, {(, {n, -, 1}, )}}, )}}, {(, {1, -, q}, )}, {x, ^, {(, {n, ^, {(, {j, +, 2}, )}}, )}}, +, RadicalBox[..., n]}, n]^_,
(18)

對於 q=1/2、n=2、x=1 和 k=-1，這給出了特殊情況，

sqrt(2)=sqrt(2/(2^(2^0))+sqrt(2/(2^(2^1))+sqrt(2/(2^(2^2))+sqrt(2/(2^(2^3))+sqrt(2/(2^(2^4))+...))))).
(19)

公式 (◇) 可以推廣到

x^(1/(n-1))=RadicalBox[{x, RadicalBox[{x, RadicalBox[{x, ...}, n]}, n]}, n]
(20)

對於整數 n>=2，這可以從以下公式得出

1+1/n+1/(n^2)+...=1/(1-1/n)
(21)
=n/(n-1)
(22)
=1+1/(n-1)
(23)
1/n+1/(n^2)+1/(n^3)+...=1/(n-1)
(24)
1/n(1+1/n(1+1/n(1+...)))=1/(n-1).
(25)

特別地，取 n=3 得到

sqrt(x)=RadicalBox[{x, RadicalBox[{x, RadicalBox[{x, ...}, 3]}, 3]}, 3].
(26)

(J. R. Fielding，私人通訊，2002 年 10 月 8 日)。

Ramanujan 發現了

x+n+a=sqrt(ax+(n+a)^2+xsqrt(a(x+n)+(n+a)^2+...)) ...+(x+n)sqrt(a(x+2n)+(n+a)^2+(x+2n)sqrt(...))^_^_,
(27)

這給出了以下特殊情況

x+1=sqrt(1+xsqrt(1+(x+1)sqrt(1+(x+2)sqrt(1+...))))
(28)

對於 a=0、n=1 (Ramanujan 1911; Ramanujan 2000, p. 323; Pickover 2002, p. 310)，以及

3=sqrt(1+2sqrt(1+3sqrt(1+4sqrt(1+5sqrt(...)))))
(29)

對於 a=0、n=1 和 x=2。Vijayaraghavan (Ramanujan 2000, p. 348) 給出了對此過程的一般證明（以及在 lnsigma 的特殊示例中，其中 sigma 是 Somos 二次遞迴常數）。

一個有趣的巢狀根式來自對 e 的級數重寫

e=1+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+...
(30)

為

e=1+1+1/2(1+1/3(1+1/4(1+1/5(1+...)))),
(31)

因此

x^(e-2)=sqrt(xRadicalBox[{x, RadicalBox[{x, RadicalBox[{x, ...}, 5]}, 4]}, 3])
(32)

(J. R. Fielding，私人通訊，2002 年 5 月 15 日)。

另請參閱

Bolyai 展開, 連分數, 黃金比例, Herschfeld 收斂定理, 巢狀根式常數, Paris 常數, Pi 公式, 冪塔, Ramanujan 對數三角積分, 白銀常數, Somos 二次遞迴常數, 平方根

使用 探索

參考文獻

Beckmann, P. A History of Pi, 3rd ed. New York: Dorset Press, 1989.Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 14-20, 1994.Borwein, J. M. and de Barra, G. "Nested Radicals." Amer. Math. Monthly 98, 735-739, 1991.Herschfeld, A. "On Infinite Radicals." Amer. Math. Monthly 42, 419-429, 1935.Jeffrey, D. J. and Rich, A. D. In Computer Algebra Systems (Ed. M. J. Wester). Chichester, England: Wiley, 1999.Landau, S. "A Note on 'Zippel Denesting.' " J. Symb. Comput. 13, 31-45, 1992a.Landau, S. "Simplification of Nested Radicals." SIAM J. Comput. 21, 85-110, 1992b.Landau, S. "How to Tangle with a Nested Radical." Math. Intell. 16, 49-55, 1994.Landau, S. "sqrt(2)+sqrt(3): Four Different Views." Math. Intell. 20, 55-60, 1998.Pólya, G. and Szegö, G. Problems and Theorems in Analysis, Vol. 1. New York: Springer-Verlag, 1997.Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911.Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 327, 2000.Sizer, W. S. "Continued Roots." Math. Mag. 59, 23-27, 1986.Vieta, F. Uriorum de rebus mathematicis responsorum. Liber VII. 1593. Reprinted in New York: Georg Olms, pp. 398-400 and 436-446, 1970.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, 1986.Wong, B. and McGuffin, M. "The Museum of Infinite Nested Radicals." http://www.dgp.toronto.edu/~mjmcguff/math/nestedRadicals.html.

在 中被引用

巢狀根式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Nested Radical." 來自 —— 資源. https://mathworld.tw/NestedRadical.html

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