p進數

一個 進數是有理數域的擴張，使得模冪的同餘對於固定的素數 與所謂的 “ 進 度量” 中的鄰近性相關。

任何非零有理數 可以表示為

(1)

其中 是一個素數， 和 是整數，且不被 整除， 是唯一的整數。然後定義 的 p進範數 為

(2)

也定義 進範數

(3)

進數可能是由 Hensel (亨澤爾) (1897) 首次在一個關於 冪級數中代數數發展的論文中引入的。然後，Kűrschák 在 1913 年將 進數推廣到賦值。Hasse (哈asse) (1923) 隨後提出了 Hasse 原理，這是區域性域理論的主要應用之一。Skolem (斯科倫) 的 進方法，用於攻擊某些丟番圖方程，是 進數的另一個強大應用。另一個應用是關於調和數 永遠不是整數（除了 之外）的定理。類似的應用是使用 進賦值證明 von Staudt-Clausen 定理，儘管技術細節有些困難。 Mahler-Lech 定理提供了另一個應用。

每個有理 都有一個“本質上”唯一的 進展開（“本質上”是因為零項始終可以在開頭新增）

(4)

其中 是一個整數， 是 0 到 （包括 0 和 ）之間的整數，並且該和相對於 進賦值是收斂的。如果 且 ，則展開是唯一的。Burger 和 Struppeck (1996) 表明，對於 是一個素數， 是一個正整數，

(5)

其中 進展開式 為

(6)

和

(7)

對於足夠大的 ，

(8)

在 上的 進賦值產生了 進 度量

(9)

這反過來又產生了 進拓撲。可以證明，有理數與 進度量一起，不構成完備度量空間。因此，可以構造這個空間的完備化，並且 進數 的集合被定義為這個完備化空間。

正如實數是有理數 關於通常絕對賦值 的完備化一樣， 進數是 關於 進賦值 的完備化。 進數在解決丟番圖方程中很有用。例如，可以很容易地證明方程 在 2 進數域中無解（我們只需取兩邊的賦值）。由於 2 進數包含有理數作為子集，我們可以立即看出該方程在有理數中無解。因此，我們立即證明了 的無理性。

這是解決這類方程時常用的論證方法：為了表明方程在 中無解，我們證明它在擴張域中無解。再舉一個例子，考慮 。這個方程在 中無解，因為它在實數 中無解，並且 是 的子集。

現在考慮逆命題。假設我們有一個方程，它在 和所有 （對於每個素數 ）中都有解。我們能得出結論，該方程在 中有解嗎？不幸的是，一般來說，答案是否定的，但是對於某些型別的方程，答案是肯定的。據說這些方程滿足 Hasse 原理。