賦值

Kürschák 於 1913 年首次提出的 p-adic 範數 的推廣。域 上的賦值 是從 到 實數 的 函式，對於所有 滿足以下性質

1. ,

2. 當且僅當 ，

3. ,

4. 蘊含 ，其中 為某個常數（獨立於 ）。

如果 (4) 對於 成立，則 滿足 三角不等式，

4a. 對於所有 。

如果 (4) 對於 成立，則 滿足更強的 超度量 不等式

4b. 。

最簡單的賦值是 絕對值，適用於 實數。滿足 (4b) 的賦值稱為 非阿基米德賦值；否則，稱為 阿基米德 賦值。

如果 是 上的賦值，且 ，那麼我們可以透過以下方式定義一個新的賦值

(1)

這確實給出了一個賦值，但公理 4 中的常數 可能不同。如果兩個賦值以這種方式相關，則稱它們是等價的，這在 上所有賦值的集合上給出了一個等價關係。任何賦值都等價於滿足三角不等式 (4a) 的賦值。鑑於此，我們只需要研究滿足 (4a) 的賦值，並且我們通常將公理 (4) 和 (4a) 視為可互換的（儘管這並非完全正確）。

如果兩個賦值等價，那麼它們要麼都是 非阿基米德 賦值，要麼都是 阿基米德 賦值。、 和 與通常的歐幾里得範數是阿基米德賦值域。對於任何 素數 ，具有 -adic 賦值 的 p-adic 數 是一個 非阿基米德域。

如果 是任何 域，我們可以透過對於所有 ，，以及 來定義 上的平凡賦值，這是一個 非阿基米德賦值。如果 是 有限域，那麼 上唯一可能的賦值是平凡賦值。可以證明， 上的任何賦值都等價於以下之一：平凡賦值、歐幾里得絕對範數 或 -adic 賦值 。

Ostrowski (1935) 證明了 的任何非平凡賦值都等價於通常的 絕對值 或 p-adic 範數。等價的賦值產生相同的拓撲。反之，如果兩個賦值具有相同的拓撲，那麼它們是等價的。一個更強的結果如下：設 、、...、 是域 上兩兩不等價的賦值，並設 、、...、 是 的元素。那麼存在 的元素的無限序列（、、...），使得

(2)

(3)

等等。這說明，在某種意義上，不等價的賦值是完全相互獨立的。例如，考慮有理數 ，以及 3-adic 和 5-adic 賦值 和 ，並考慮由以下給出的數字序列

(4)

那麼，相對於 ，當 時，，但相對於 ，當 時，，這說明一個數字序列在兩個不同的賦值下可以趨於兩個不同的極限。

離散賦值是指其 賦值群 是 實數 的離散子集的賦值。等價地，如果存在 實數 ，則（域 上的）賦值是離散的，使得

(5)

-adic 賦值在 上是離散的，但普通的絕對賦值不是。

如果 是 上的賦值，那麼它會誘導一個度量

(6)

在 上，這反過來又會在 上誘導一個 拓撲。如果 滿足 (4b)，那麼這個度量是 超度量。我們說 是一個完備賦值域，如果這個 度量空間 是完備的。