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八邊形平方數

一個同時是 八邊形數 和 平方數 的數。設 O_n 表示第 n 個 八邊形數，S_m 表示第 m 個 平方數，那麼一個既是八邊形數又是平方數的數滿足方程 O_n=S_m，或

n(3n-2)=m^2.
(1)

配方法 並重新排列得到

(3n-1)^2-3m^2=1.
(2)

因此，定義

x=(3n-1)
(3)
y=m
(4)

得到 佩爾方程

x^2-3y^2=1
(5)

最初的幾個解是 (x,y)=(2,1), (7, 4), (26, 15), (97, 56), (362, 209), (1351, 780), .... 這些給出解 (n,m)=(1,1), (8/3, 4), (9, 15), (98/3, 56), (121, 209), ..., 其中整數解為 (1, 1), (9, 15), (121, 209), (1681, 2911), ... (OEIS A046184 和 A028230)，對應於八邊形平方數 1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, ... (OEIS A036428)。

另請參閱

八邊形數, 平方數

使用 探索

參考文獻

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; 和 Patashnik, O. 具體數學：計算機科學的基礎。 雷丁，馬薩諸塞州：Addison-Wesley, p. 329, 1990.Konhauser, J. D. E.; Velleman, D.; 和 Wagon, S. 腳踏車往哪個方向去了？以及其他有趣的數學謎題。 華盛頓特區：美國數學協會, p. 104, 1996.Sloane, N. J. A. 序列 A028230, A036428, 和 A046184，出自“整數數列線上大全”。

在 中被引用

八邊形平方數

請這樣引用

Weisstein, Eric W. “八邊形平方數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/OctagonalSquareNumber.html

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