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布羅卡爾問題

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布羅卡爾問題要求找到 n 的值，使得 n!+1 是一個平方數 m^2，其中 n! 是階乘 (Brocard 1876, 1885)。唯一已知的解是 n=4、5 和 7。數對 (m,n) 被稱為布朗數。1906 年，Gérardin 聲稱，如果 m>71，那麼 m 必須至少有 20 位數字。Ramanujan 在不知道 Brocard 的問題的情況下，於 1913 年考慮了同樣的問題。Gupta (1935) 指出，對高達 n=63 的 n! 的計算沒有給出進一步的解。

幾乎可以肯定沒有更多的解 (Guy 1994)。事實上，Dabrowski (1996) 已經證明 n!+A=k^2 對於一般的 A 只有有限多個解，儘管如果 A 是平方數，這個結果需要假設 abc 猜想的弱形式。

沒有其他解滿足 n<=10^7 (Wells 1986, p. 70)，Berndt 和 Galway 進一步搜尋到 n=10^9 也沒有找到任何進一步的解。

Wilson 還計算了最小的 k 使得 n!+k^2 從 n=4 開始為平方數，給出 1, 1, 3, 1, 9, 27, 15, 18, 288, 288, 420, 464, 1856, ... (OEIS A038202)。

另請參閱

布朗數, 階乘, 平方數

使用 探索

參考文獻

Berndt, B. C. 和 Galway, W. F. "關於布羅卡爾-拉馬努金丟番圖方程 n!+1=m^2." 已提交。 http://www.math.uiuc.edu/~galway/Submissions/Ramanujan469.ps 和 http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf.Brocard, H. 問題 166. Nouv. Corres. Math. 2, 287, 1876.Brocard, H. 問題 1532. Nouv. Ann. Math. 4, 391, 1885.Dabrowski, A. "關於丟番圖方程 x!+A=y^2." Nieuw Arch. Wisk. 14, 321-324, 1996.Erdős, P. 和 Obláth, R. "關於 n!=x^p+/-y^p 和 n!+/-m!=x^p 形式的丟番圖方程." Acta Szeged 8, 241-255, 1937.Gupta, H. "關於布羅卡爾-拉馬努金問題." Math. Student 3, 71, 1935.Guy, R. K. "包含階乘 n 的方程." §D25 in 數論中未解決的問題，第 2 版 紐約: Springer-Verlag, pp. 193-194, 1994.Ramanujan, S. 斯里尼瓦薩·拉馬努金論文集 (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, 和 B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 327, 2000.Overholt, M. "丟番圖方程 n!+1=m^2." Bull. London Math. Soc. 25, 104, 1993.Sloane, N. J. A. 序列 A038202 in "整數序列線上百科全書."Wells, D. 企鵝好奇和有趣的數字詞典。 Middlesex, England: Penguin Books, pp. 57 和 70, 1986.

在 中被引用

布羅卡爾問題

引用為

Weisstein, Eric W. "布羅卡爾問題。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BrocardsProblem.html

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