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四面體數

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TetrahedralNumber

一種 形象數 Te_n 形式為

Te_n=sum_(k=1)^(n)T_k
(1)
=1/6n(n+1)(n+2)
(2)
=(n+2; 3),
(3)

其中 T_k 是第 k 個 三角形數，而 (n; m) 是一個 二項式係數。 這些數字對應於在四面體（三角形底面錐體）的結構中放置離散點。四面體數是 稜錐數，其中 r=3，並且是連續 三角形數 的總和。 前幾個是 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ... (OEIS A000292)。 四面體數的 生成函式 是

x/((x-1)^4)=x+4x^2+10x^3+20x^4+....
(4)

除了每第四個四面體數是 奇數 外，四面體數都是 偶數 (Conway and Guy 1996)。

唯一同時是 平方數 和四面體數的數字是 Te_1=1, Te_2=4, 和 Te_(48)=19600 (給出 S_1=1, S_2=4, 和 S_(140)=19600), 正如 Meyl (1878; 引用自 Dickson 2005, p. 25) 所證明的那樣。

同時是 三角形數 和四面體數的數字滿足 二項式係數 方程

T_n=(n+1; 2)=(m+2; 3)=Te_m,
(5)

其唯一的解是

Te_1=T_1=1
(6)
Te_3=T_4=10
(7)
Te_8=T_(15)=120
(8)
Te_(20)=T_(55)=1540
(9)
Te_(34)=T_(119)=7140
(10)

(OEIS A027568; Avanesov 1966/1967; Mordell 1969, p. 258; Guy 1994, p. 147)。

Beukers (1988) 研究了透過 整數 點在 橢圓曲線 上尋找同時是四面體數和 稜錐數 的問題，並發現唯一的解是平凡解 Te_1=P_1=1。

將 n=1, 2, ... 表示為若干個四面體數之和所需的最少四面體數個數由 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 1, ... (OEIS A104246) 給出。 Pollock 猜想 指出，每個數字都是最多五個四面體數的和。 不能表示為 <=4 個四面體數之和的數字由序列 17, 27, 33, 52, 73, ..., (OEIS A000797) 給出，該序列包含 241 項，其中 343867 幾乎可以肯定是最後一個這樣的數字。

另請參閱

Pollock 猜想, 稜錐數, 方錐數, 三角形數, 截角四面體數

使用 探索

參考文獻

Avanesov, E. T. "關於形象數問題的一個解" [俄文]. Acta Arith. 12, 409-420, 1966/1967.Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. 數學娛樂與散文，第13版。 New York: Dover, p. 59, 1987.Beukers, F. "關於橙子和某些平面三次曲線上的整數點." Nieuw Arch. Wisk. 6, 203-210, 1988.Conway, J. H. and Guy, R. K. 數字之書。 New York: Springer-Verlag, pp. 44-46, 1996.Dickson, L. E. 數論史，卷 2：丟番圖分析。 New York: Dover, 2005.Guy, R. K. "形象數." §D3 in 數論中未解決的問題，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 147-150, 1994.Meyl, A.-J.-J. "問題 1194 的解." Nouv. Ann. Math. 17, 464-467, 1878.Mordell, L. J. 丟番圖方程。 New York: Academic Press, p. 258, 1969.Skiena, S. S. 演算法設計手冊。 New York: Springer-Verlag, pp. 43-45, 1997.Sloane, N. J. A. 序列 A000292/M3382, A000797/M5033, A027568, 和 A104246 在 "整數序列線上百科全書" 中。

在 中被引用

四面體數

引用為

Weisstein, Eric W. “四面體數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/TetrahedralNumber.html

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