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尤拉磚

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EulerBrick

尤拉磚是具有整數邊 a>b>c 和面部對角線的長方體

d_(ab)=sqrt(a^2+b^2)
(1)
d_(ac)=sqrt(a^2+c^2)
(2)
d_(bc)=sqrt(b^2+c^2).
(3)

如果空間對角線也是整數，則尤拉磚被稱為完美長方體，儘管目前尚不知道完美長方體的例子。

最小的尤拉磚的邊長為 (a,b,c)=(240,117,44)，面部多面體對角線為 d_(ab)=267、d_(ac)=244 和 d_(bc)=125，由 Halcke (1719; Dickson 2005, pp. 497-500) 發現。Kraitchik 給出了 257 個奇數邊小於 100 萬的長方體 (Guy 1994, p. 174)。F. Helenius 編制了 5003 個最小的（按最長邊測量）尤拉磚的列表。前幾個是 (240, 117, 44), (275, 252, 240), (693, 480, 140), (720, 132, 85), (792, 231, 160), ... (OEIS A031173, A031174, 和 A031175)。

18 世紀人們對這個問題非常感興趣，Saunderson (1740) 找到了一個總是給出尤拉磚（但不是給出所有可能的尤拉磚）的引數化解，而在 1770 年和 1772 年，尤拉至少找到了兩個引數化解。Saunderson 的解法讓 (a^',b^',c^') 成為勾股三元組，然後

(a,b,c)=(a^'(4b^('2)-c^('2)),b^'(4a^('2)-c^('2)),4a^'b^'c^')
(4)

是一個具有面部對角線的尤拉磚

d_(ab)=c^('3)
(5)
d_(ac)=a^'(4b^('2)+c^('2))
(6)
d_(bc)=b^'(4a^('2)+c^('2)).
(7)

(Saunderson 1740; Dickson 2005, p. 497)。

另請參閱

長方體, 迴圈四邊形, 面對角線, 海倫四面體, 海倫三角形, 平行六面體, 完美長方體, 多面體對角線, 勾股三元組, 勾股四元組, 有理距離問題, 空間對角線

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參考文獻

Dickson, L. E. 數論史，卷 2：丟番圖分析。 New York: Dover, 2005.Guy, R. K. "Is There a Perfect Cuboid? Four Squares Whose Sums in Pairs Are Square. Four Squares Whose Differences are Square." §D18 in 數論中的未解問題，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 173-181, 1994.Halcke, P. Deliciae Mathematicae; oder, Mathematisches sinnen-confect. Hamburg, Germany: N. Sauer, p. 265, 1719.Leech, J. "The Rational Cuboid Revisited." Amer. Math. Monthly 84, 518-533, 1977. Erratum in Amer. Math. Monthly 85, 472, 1978.Peterson, I. "MathTrek: Euler Bricks and Perfect Polyhedra." Oct. 23, 1999. http://www.sciencenews.org/sn_arc99/10_23_99/mathland.htm.Sloane, N. J. A. Sequences A031173, A031174, and A031175 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Rathbun, R. L. "Integer Cuboid Search Update." 8 Jan 2001. http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0101&L=NMBRTHRY&P=1272.Saunderson, N. The Elements of Algebra in 10 Books, Vol. 2. Cambridge, England: University Press, pp. 429-431, 1740.Spohn, W. G. "On the Integral Cuboid." Amer. Math. Monthly 79, 57-59, 1972.Spohn, W. G. "On the Derived Cuboid." Canad. Math. Bull. 17, 575-577, 1974.Wells, D. G. 企鵝好奇和有趣的數字詞典。 London: Penguin, p. 127, 1986.

在 中被引用

尤拉磚

引用為

Weisstein, Eric W. "尤拉磚。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/EulerBrick.html

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