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赫羅尼安三角形

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赫羅尼安三角形是指三角形，其有理邊長和有理面積。這些三角形之所以如此命名，是因為它們與海倫公式有關

Delta=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))
(1)

海倫公式給出了三角形面積 Delta，用其邊長 a、 b、 c 和半周長 s=(a+b+c)/2 表示。因此，找到赫羅尼安三角形等價於求解丟番圖方程

Delta^2=s(s-a)(s-b)(s-c).
(2)

整數赫羅尼安三角形（三個邊長和麵積可以乘以它們的最小公倍數，使其全部成為整數）的完整解集由尤拉發現 (Buchholz 1992; Dickson 2005, p. 193)，引數化版本由婆羅摩笈多和卡邁克爾 (1952) 給出，如下所示

a=n(m^2+k^2)
(3)
b=m(n^2+k^2)
(4)
c=(m+n)(mn-k^2)
(5)
s=mn(m+n)
(6)
Delta=kmn(m+n)(mn-k^2).
(7)

對於任何整數 m、 n 和 k，這會產生每個赫羅尼安三角形相似類的一個成員，條件是 GCD(m,n,k)=1、 mn>k^2>=m^2n/(2m+n) 和 m>=n>=1 (Buchholz 1992)。

HeronianTriangles

前幾個整數赫羅尼安三角形按最大邊長遞增排序為 ((3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13), (10, 13, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (10, 10, 16), ... (OEIS A055594, A055593, and A055592), 面積為 6, 12, 12, 24, 48, 30, 60, 54, ... (OEIS A055595)。前幾個整數赫羅尼安不等邊三角形，按最大邊長遞增排序為 (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (9, 10, 17), ... (OEIS A046128, A046129, and A046130), 面積為 6, 24, 30, 54, 24, 84, 36, ... (OEIS A046131)。R. Rathbun 編錄了所有周長小於 2^(17) 的整數赫羅尼安三角形 (Peterson 2003)。

Schubert (1905) 聲稱不存在具有兩條有理數三角形中線的赫羅尼安三角形 (Dickson 2005)。Buchholz 和 Rathbun (1997) 證明這是不正確的，他們發現了下表給出的三角形，其中 m_i 是三角形中線長度，A 是面積。

abcm_1m_2A
735126(35)/2(97)/2420
626875291572(433)/255440
4368124136731657(7975)/22042040
147911438411257(21177)/21100175698280
287791381615155(3589)/22193723931600
18236751856291930456(2048523)/2(3751059)/2142334216640
HeronianRightIsosceles

D. Borris（私人通訊，2003 年 10 月 22 日）考慮了赫羅尼安三角形的本原對，其中一個是邊長為 (a,b,c) 的直角三角形，另一個是邊長為 (x,y,y) 的等腰三角形，使得這兩個三角形共享相同的面積和周長。Borris 發現了對 (a,b,c)=(135,352,377) 和 (x,y,y)=(132,366,366) （對應於面積 23760 和周長 864），並且沒有發現其他右三角形最小邊長小於 400000 的此類對。

參見

海倫公式, 赫羅尼安四面體, 整數三角形, 完全立方體, 勾股陣列, 有理三角形, 三角形, 三角形中線

使用 探索

參考文獻

Buchholz, R. H. On Triangles with Rational Altitudes, Angle Bisectors or Medians. Doctoral Dissertation. Newcastle, Australia: Newcastle University, 1989.Buchholz, R. H. "Perfect Pyramids." Bull. Austral. Math. Soc. 45, 353-368, 1992.Buchholz, R. H. and Rathbun, R. L. "An Infinite Set of Heron Triangles with Two Rational Medians." Amer. Math. Monthly 104, 107-115, 1997.Carmichael, R. D. The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. New York: Dover, 1952.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, pp. 199 and 208, 2005.Fleenor, C. R. "Heronian Triangles with Consecutive Integer Sides." J. Recr. Math. 28, 113-115, 1996-96.Guy, R. K. "Simplexes with Rational Contents." §D22 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 190-192, 1994.Kraitchik, M. "Heronian Triangles." §4.13 in Mathematical Recreations. New York: W. W. Norton, pp. 104-108, 1942.Macleod, A. J. "On Integer Relations Between the Area and Perimeter of Heron Triangles." Forum Geom. 9, 41-46, 2009. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200904index.html.Peterson, I. "MathTrek: Perfect Pyramids." July 26, 2003. http://www.sciencenews.org/20030726/mathtrek.asp.Rabinowitz, S. "Problem 2006: Heronian Properties." J. Recr. Math. 24, 309, 1992.Sastry, K. R. S. "Heron Triangles: A Gergonne-Cevian-and-Median Perspective." Forum Geometricorum 1, 17-24, 2001. http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200104index.html.Schubert, H. "Die Ganzzahligkeit in der algebraischen Geometrie." In Festgabe 48 Versammlung d. Philologen und Schulmänner zu Hamburg. Leipzig, Germany, pp. 1-16, 1905.Sloane, N. J. A. Sequences A046128, A046129, A046130, A046131, A055592, A055593, A055594, and A055595 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Somos, M. "Heronian Triangle Table." http://grail.csuohio.edu/~somos/tritab.html.Wells, D. G. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Puzzles. London: Penguin Books, p. 34, 1992.Yiu, P. "Construction of Indecomposable Heronian Triangles." Rocky Mountain J. Math. 28, 1189-1202, 1998.

在 中被引用

赫羅尼安三角形

引用為

Weisstein, Eric W. "赫羅尼安三角形。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HeronianTriangle.html

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