垂心

三角形三條高線 , , 和 的交點 稱為垂心。名稱由 Besant 和 Ferrers 於 1865 年在劍橋通往倫敦的道路上散步時發明（Satterly 1962）。垂心的 三線座標 是

(1)

如果 三角形 不是 直角三角形，則 (1) 可以除以 得到

(2)

垂心是 Kimberling 中心 。

下表總結了作為 Kimberling 中心的命名三角形的垂心。

三角形	Kimberling	垂心
反補三角形		de Longchamps 點
外接圓弧中點三角形		內心
外法線三角形		外心
外切線三角形		外心
切點三角形		切點三角形的垂心
Euler-Gergonne-Soddy 三角形		Fletcher 點
Euler 三角形		垂心
旁心三角形		內心
第一 Brocard 三角形		在 中的反射
第一 Morley 三角形		第一 Morley 中心
第一 Yff 圓三角形		第一 Johnson-Yff 圓的中心
Fuhrmann 三角形		內心
hexyl triangle		Bevan 點
內心三角形		內心三角形的垂心
內 Napoleon 三角形		三角形重心
內 Vecten 三角形		內 Vecten 點
中點三角形		外心
弧中點三角形		第一 弧中點
垂足三角形		垂足三角形的垂心
外 Napoleon 三角形		三角形重心
外 Vecten 三角形		外 Vecten 點
參考三角形		垂心
第二 Yff 圓三角形		(,) 的 調和共軛點
Stammler 三角形		外心
Steiner 三角形		外心
切線三角形		垂足三角形的特徵中心
Yff 切點三角形		Nagel 點

如果三角形是 銳角三角形，則垂心位於三角形內部。在 直角三角形 中，垂心是 直角 的 多邊形頂點。

當三角形的頂點與其垂心組合時，任何一個點都是其他三個點的垂心，正如 Carnot (Wells 1991) 最早指出的那樣。因此，這四個點形成一個 垂心繫統。

外心 和垂心 是 等角共軛點。

垂心位於 尤拉線 上。它位於 Fuhrmann 圓 和 垂心心圓 上，並且垂心和 Nagel 點 構成 Fuhrmann 圓 的 直徑。它是 極圓 和 第一 Droz-Farny 圓 的中心。它也位於 費爾巴哈雙曲線、耶拉貝克雙曲線 和 基佩爾特雙曲線，以及 Darboux 三次曲線、M'Cay 三次曲線、Neuberg 三次曲線、正交三次曲線 和 湯姆森三次曲線 上。

到一些命名中心的距離包括

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			(4)
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			(7)
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			(9)
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其中 是 Clawson 點， 是 三角形重心， 是 Gergonne 點， 是 內心， 是 界心， 是 de Longchamps 點， 是 mittenpunkt， 是 九點中心， 是 Nagel 點， 是 外心， 是 Spieker 中心， 是 三角形面積， 是 外接圓半徑，以及 是 Conway 三角形符號。

涉及垂心的關係包括以下內容

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			(18)
			(19)

其中 是面積， 是 參考三角形 的 外接圓半徑，以及 、、 和 是 Conway 三角形符號 (P. Moses, 私人交流, 2005 年 2 月 23 日)。在 銳角三角形 的情況下，

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			(21)

其中 是 內切圓半徑 且

(22)

是 垂足三角形 的內切圓半徑 (Johnson 1929, p. 191)。

另一個垂心關係由下式給出

(23)

其中 是 外心。

任何外接於 三角形 且穿過垂心的 雙曲線 都是 矩形雙曲線，並且其中心位於 九點圓 上 (Falisse 1920, Vandeghen 1965)。