正四面體

正四面體，通常簡稱為“四面體”，是擁有四個多面體頂點、六條多面體邊和四個等邊三角形面的柏拉圖立體，。上圖展示了正四面體及其線框版本和一個可用於其構造的網格。

正四面體也是均勻多面體，其 Maeder 指數為 1 (Maeder 1997)，Wenninger 指數為 1 (Wenninger 1989)，Coxeter 指數為 15 (Coxeteret al. 1954)，Har'El 指數為 6 (Har'El 1993)。它由施萊夫利符號 描述，Wythoff 符號為 。它是一個等面體，是通用四面體和等腰四面體的一個特例。

上面展示了正四面體的若干對稱投影。

正四面體在 Wolfram 語言中實現為Tetrahedron[] 或UniformPolyhedron["Tetrahedron"]。預計算屬性可作為PolyhedronData["Tetrahedron", prop]。

四面體有 7 個對稱軸：（連線頂點與對面中心軸）和 （連線相對邊中點的軸）。

除了四面體之外，沒有其他凸多面體具有四個面。

四面體有兩個不同的網格（Buekenhout 和 Parker 1998）。可以使用波利亞計數定理解決四面體的多面體著色問題。

四面體的表面積是單個等邊三角形面面積的四倍

因此

正四面體的高度是

內半徑和外半徑是

其中 必然如此。

由於四面體是以三角形為底的金字塔，，得出

二面角是

單位正四面體的Dehn 不變數是

（OEIS A377277），其中第一個表示式使用 Conwayet al. (1999) 的基。

從正四面體的頂點到對面所張的立體角 由下式給出

或大約 0.55129 球面度。

四面體的中半徑是

代入多面體頂點得到

如上圖所示，單位邊長四面體的對偶多面體是另一個方向相反的單位邊長四面體。

上圖顯示了用一張紙摺疊而成的摺紙四面體（Kasahara 和 Takahama 1987，第 56-57 頁）。

它是四面體群 的原型。頂點的連通性由四面體圖給出，等價於迴圈圖 和完全圖 。

四面體是其自身的對偶多面體，因此四面體的面的中心形成另一個四面體（Steinhaus 1999，第 201 頁）。四面體是唯一沒有多面體對角線的簡單多面體，並且不能進行星形化。如果一個正四面體被六個平面切割，每個平面都穿過一條邊並平分相對的邊，它將被切成 24 塊（Gardner 1984，第 190 和 192 頁；Langman 1951）。

亞歷山大·格拉漢姆·貝爾是使用四面體框架結構（包括風箏）的支持者（Bell 1903；Lesage 1956，Gardner 1984，第 184-185 頁）。正四面體的相對邊是垂直的，因此如果鉸接得當，可以形成萬向聯軸器。八個正四面體可以放置在一個自由旋轉的環中，對於擠壓的不規則四面體，數量可以減少到六個（Wells 1975, 1991）。

設一個四面體的邊長為 ，並使其底面位於 平面內，其中一個頂點沿正 -軸。則此四面體的多面體頂點位於 (, 0, 0)、(, , 0) 和 (0, 0, )，其中

然後是

這給出了底面的面積為

高度是

外半徑 由下式求得

解得

內半徑 是

也就是

底面和中心之間的角度由此給出

給定一個邊長為 的四面體，其頂點垂直，座標系原點位於頂點的幾何質心處，則四個多面體頂點位於 、、，如上所示

當頂點取為立方體的角時，邊長為 的四面體的頂點也可以用特別簡單的形式給出（Gardner 1984，第 192-194 頁）。邊長為 1 的立方體的一個這樣的四面體給出了邊長為 的四面體，其頂點為 (0, 0, 0)、(0, 1, 1)、(1, 0, 1)、(1, 1, 0)，並滿足不等式

下表給出了可以透過給定高度 的金字塔對四面體進行增廣構造的多面體。

用等間距的線連線相對的邊對，得到如上圖所示的配置，該配置將四面體分成八個區域：四個開放區域和四個封閉區域（Steinhaus 1999，第 246 頁）。

密歇根州藝術家大衛·巴爾於 1976 年設計了他的“四角專案”。這是一個地球大小的正四面體，跨越整個地球，只有四個角的尖端突出。這些可見部分是四英寸的四面體，從地球突出，位於復活節島、格陵蘭島、新幾內亞和卡拉哈里沙漠。巴爾前往這些地點，並在 1981 年至 1985 年間永久安裝了四個對齊的大理石四面體（G. Hart, pers. comm.; Arlinghaus 和 Nystuen 1986）。

透過如上所示切割四面體，可以得到一個正方形。這種切割將四面體分成兩個全等的實體，旋轉了 。四面體的投影可以是等邊三角形或正方形（Steinhaus 1999，第 191-192 頁）。