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Reuleaux 四面體

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Reuleaux 四面體，有時也稱為球形四面體，是四個等半徑球體共有的三維實體，這些球體的放置方式使得每個球體的中心都位於其他三個球體的表面上。因此，球體的中心位於正四面體的頂點處，並且該實體由一個“膨脹的”四面體組成，帶有四個彎曲的邊。

請注意，此名稱（此處首次提出）是基於幾何形狀是Reuleaux 三角形的三維類似物這一事實，而不是它具有恆定寬度的事實。實際上，Reuleaux 四面體不是恆定寬度的實體。然而，Meißner（1911）展示瞭如何修改 Reuleaux 四面體以形成恆定寬度的曲面，方法是用圓形弧的旋轉曲面形成的彎曲補片替換其三個邊緣弧。根據替換哪三個邊緣弧（具有共同頂點的三個或形成三角形的三個），可以產生兩個不全等的形狀，稱為邁斯納四面體（Meissner tetrahedra）（Lachand-Robert 和 Oudet 2007）。

為了分析 Reuleaux 四面體，固定一個單位邊長的四面體，其頂點位於點 (0,0,-sqrt(6)/4)、(sqrt(3)/3,0,sqrt(6)/12)、(-sqrt(3)/6,1/2,sqrt(6)/12) 和 (-sqrt(3)/6,-1/2,sqrt(6)/12)。同時求解四個球體中三個的方程，得到 x 和 y 作為 z 的函式，然後得到

x=1/2sqrt(2)z+1/8sqrt(6)sqrt(5-4sqrt(6)z(1+sqrt(6)z))
(1)
y=1/2sqrt(6)z+1/8sqrt(2)sqrt(5-4sqrt(6)z(1+sqrt(6)z)).
(2)

當 z 從 sqrt(6)/12 經過到 (6-sqrt(6))/12 時，描繪出半個弧，並且

ds=sqrt(((dx)/(dz))^2+((dy)/(dz))^2+1)dz
(3)
=3sqrt(2/(5-4sqrt(6)z(1+sqrt(6)z)))dz,
(4)

因此，連線頂點的曲線的弧長由下式給出

s=intds
(5)
=6sqrt(2)int_(sqrt(6)/12)^(sqrt(6)(sqrt(6)-1)/12)[5-4sqrt(6)z(1+sqrt(6)z)]^(-1/2)dz.
(6)

進行座標變換，

s=sqrt(3)int_2^(sqrt(6))(6-u^2)^(-1/2)du
(7)
=sqrt(3)cot^(-1)(sqrt(2))
(8)
=1.06604....
(9)

使用高斯-博內公式得出表面積為

S=8pi-18cos^(-1)(1/3)
(10)
=2.975471...
(11)

（OEIS A202473; Harbourne 2010; Hynd 2023）。

體積在解析計算上要複雜得多。從四面體的質心設定球座標，使得從底部頂點到半徑向量的距離為 1，即，

r^2cos^2thetasin^2phi+r^2sin^2thetasin^2phi+(rcosphi+1/4sqrt(6))^2=1,
(12)

簡化為

3/8+r^2+1/2sqrt(6)rcosphi=1,
(13)

得到

r(theta,phi)=1/4[sqrt(3cos(2phi)+13)-sqrt(6)cosphi].
(14)

透過對稱性，Reuleaux 四面體的體積由下式給出

V=24int_0^(pi/3)int_0^(phi(theta))int_0^(r(theta,phi))r^2sinphidrdphidtheta.
(15)

關於 r 的積分可以立即完成，

V=1/8int_0^(pi/3)int_0^(phi(theta))[sqrt(3cos(2phi)+13)-sqrt(6)cosphi]^3sinphidphidtheta.
(16)

現在將右上邊緣引數化為方位角座標 theta 的函式，如下所示

x=(costheta)/(sqrt(3)costheta+3sintheta)
(17)
y=(sintheta)/(sqrt(3)costheta+3sintheta)
(18)
z=1/(12)sqrt(6).
(19)

然後可以將極角 phi 解為 theta 的函式，如下所示

phi(theta)=cos^(-1)(z/(sqrt(x^2+y^2+z^2)))
(20)
=tan^(-1)((2sqrt(2))/(costheta+sqrt(3)sintheta)).
(21)

關於 phi 的積分可以透過進行座標變換來完成

u=(2sqrt(2))/(costheta+sqrt(3)sintheta),
(22)

得到

V=int_0^(pi/3)1/(32)[256-45sqrt(6)+42sqrt(6)cos(2tan^(-1)u)-(58sqrt(13+3cos(2tan^(-1)u)))/(sqrt(1+u^2))+6sqrt(13+3cos(2tan^(-1)u))cos(3tan^(-1)u)+3sqrt(6)cos(4tan^(-1)u)]dtheta.
(23)

進行變數替換

u=(2sqrt(2(1+3t^2)))/(1+3t)
(24)

然後給出體積為

V=int_0^1[(8sqrt(3))/(1+3t^2)-(16sqrt(2)(3t+1)(4t^2+t+1)^(3/2))/((3t^2+1)(11t^2+2t+3)^2)-(sqrt(2)(249t^2+54t+65))/((11t^2+2t+3)^2)]dt.
(25)

這個積分可以使用計算機代數進行解析計算，但解析形式包含反三角函式和對數項，這些項沒有以最簡單的形式表示結果。然而，使用表面積結合一些簡單的幾何方法，可以幾乎立即得到完全簡化的形式，如下所示

V=8/3pi-(27)/4cos^(-1)(1/3)+1/4sqrt(2)
(26)
=0.42215773...
(27)

（OEIS A102888; Harbourne 2010; Hynd 2023）。

另請參閱

恆定寬度曲線, 雙曲四面體, 邁斯納四面體, Reuleaux 三角形, 球體, 球體-球體交集, 球面三角形, 施泰因梅茨實體, 四面體

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參考文獻

Encyclopedia Geometrica. "3D Reuleaux." http://www.fastgeometry.com/Reuleaux/ConstantBreadth3DShapes.htm.Harbourne, B. "Volume and Surface Area of the Spherical Tetrahedron (AKA Reuleaux Tetrahedron) by Geometrical Methods." http://www.math.unl.edu/~bharbourne1/ST/sphericaltetrahedron.html. 2017 年 9 月 10 日。Hynd, R. "The Perimeter and Volume of a Reuleaux Polyhedron." 2023 年 10 月 12 日。 https://arxiv.org/abs/2310.08709.Lachand-Robert, T. and Oudet, É. "Bodies of Constant Width in Arbitrary Dimension." Math. Nachr. 280, 740-750, 2007.Meissner, F. "Über Punktmengen konstanter Breite." Vierteljahresschr. naturforsch. Ges. Zürich 56, 42-50, 1911.Sloane, N. J. A. Sequences A102888 和 A202473 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

請引用為

Weisstein, Eric W. "Reuleaux Tetrahedron." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ReuleauxTetrahedron.html

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