勒洛三角形

一種定寬曲線，透過在多邊形頂點的每個等邊三角形之間，以另外兩個頂點為圓心繪製圓弧構造而成。勒洛三角形在所有定寬曲線中，給定寬度下具有最小的面積。設圓弧半徑為。由於勒洛三角形的每個彎月形部分的面積是一個圓弓形，其張角為 ,

			(1)
			(2)

但是邊長的中心等邊三角形的面積是

(3)

所以總面積是

(4)

因為它可以在正方形內旋轉，如上圖所示，它是哈里·瓦特方形鑽頭的基石。

當在邊長為 2，角位於 ) 的正方形內旋轉時，勒洛三角形的包絡線是帶有圓角的正方形區域。在角處，邊界的包絡線由引數方程為以下的橢圓的一部分給出

			(5)
			(6)

對於 , 延伸距離從角 (Gleißner 和 Zeitler 2000)。橢圓中心為，長半軸，短半軸，並旋轉了度，其笛卡爾方程為

(7)

勒洛三角形旋轉時覆蓋的分數面積是

(8)

(OEIS A066666)。請注意，Gleißner 和 Zeitler (2000) 未能簡化他們的等效方程，然後斷言 (8) 是錯誤的。

幾何中心在三角形旋轉時不會保持固定，也不會沿圓移動。實際上，該路徑由橢圓的四個弧組成的曲線構成 (Wagon 1991)。對於邊長為 2 的外接正方形，左下象限中的橢圓具有以下引數方程

			(9)
			(10)

對於。橢圓中心為，長半軸，短半軸，並旋轉了度，其笛卡爾方程為

(11)

質心軌跡包圍的面積由下式給出

(12)

(Gleißner 和 Zeitler 2000；他們再次未能簡化他們的表示式)。請注意，幾何中心的路徑可以由超橢圓近似表示

(13)

其中和 .

另請參閱

定寬曲線, Delta 曲線, 等邊三角形, 生命之花, 分段圓弧曲線, 勒洛多邊形, 勒洛四面體, 轉子, 滾輪線, 三曲枝

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Blaschke, W. "Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts." Math. Ann. 76, 504-513, 1915.Bogomolny, A. "定寬形狀。" http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cwidth.shtml.Croft, H. T.; Falconer, K. J.; 和 Guy, R. K. 幾何中的未解問題。 New York: Springer-Verlag, p. 8, 1991.Dark, H. E. 汪克爾旋轉發動機：介紹與指南。 Bloomington, IN: Indiana University Press, 1974.Eppstein, D. "勒洛三角形。" http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/reuleaux.html.Finch, S. R. 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Finch, S. "勒洛三角形常數。" http://algo.inria.fr/bsolve/.Gardner, M. "數學遊戲：定寬曲線，其中一種可以鑽出方形孔。" Sci. Amer. 208, 148-156, Feb. 1963.Gardner, M. "定寬曲線。" Ch. 18 in 意外的絞刑和其他數學趣題。 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 212-221, 1991.Gleißner, W. 和 Zeitler, H. "勒洛三角形及其質心。" Result. Math. 37, 335-344, 2000.Gray, A. "勒洛多邊形。" §7.8 in 使用 Mathematica 的曲線和曲面的現代微分幾何，第二版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 176-177, 1997.Kunkel, P. "勒洛三角形。" http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm.Math Forum. "勒洛三角形，勒洛鑽頭。" http://mathforum.org/~sarah/HTMLthreads/articletocs/reuleaux.triangle.html.Peterson, I. "Ivar Peterson 的數學樂園：與勒洛一起滾動。" Oct. 21, 1996. http://www.maa.org/mathland/mathland_10_21.html.Rademacher, H. 和 Toeplitz, O. 數學的樂趣：業餘數學精選。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1957.Reuleaux, F. 機械運動學：機器理論概要。 London: Macmillan, 1876. Reprinted as 機械運動學。 New York: Dover, 1963.Sloane, N. J. A. Sequence A066666 in "整數數列線上百科全書。"Smith, S. "鑽方形孔。" Math. Teacher 86, 579-583, Oct. 1993.Taimina, D. 和 Henderson, D. W. "勒洛三角形。" http://kmoddl.library.cornell.edu/math/2/.Wagon, S. Mathematica 實踐。 New York: W. H. Freeman, pp. 52-54 和 381-383, 1991.Yaglom, I. M. 和 Boltyanskii, V. G. 凸圖形。 New York: Holt, Rinehart, & Winston, 1961.

請引用為

Eric W. Weisstein "勒洛三角形。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/ReuleauxTriangle.html

勒洛三角形

另請參閱

使用 探索

參考文獻

請引用為

主題分類

使用探索