高斯-博內公式

高斯-博內公式有幾種形式。最簡單的一種形式表達了嵌入三角形的總高斯曲率，它與邊界的總測地曲率和角點的跳躍角有關。

更具體地說，如果 是任何二維黎曼流形（如三維空間中的曲面），如果 是一個嵌入三角形，那麼高斯-博內公式指出，整個三角形上關於面積的高斯曲率積分由 減去跳躍角之和，再減去三角形邊界上關於弧長的測地曲率積分給出，

(1)

其中 是高斯曲率， 是面積度量，s 是 的跳躍角， 是 的測地曲率，其中 是弧長度量。

高斯-博內公式最常見的另一種形式是：對於任何緊緻、無邊界的二維黎曼流形，整個流形上關於面積的高斯曲率積分是 乘以尤拉示性數。

(2)

這有點令人驚訝，因為總高斯曲率在性質上是微分幾何的，但尤拉示性數在性質上是拓撲的，並且完全不依賴於微分幾何。因此，如果你扭曲曲面並改變任何位置的曲率，無論你如何操作，總曲率都會保持不變。

觀察三維空間中曲面的高斯-博內定理的另一種方式是，曲面的高斯對映的布勞威爾度由曲面的尤拉示性數的一半給出

(3)

這僅適用於可定向曲面，其中 是緊緻的。這使得高斯-博內定理成為龐加萊-霍普夫指標定理的簡單推論，如果你是拓撲學家，這是一種很好的觀察事物的方式，但對於微分幾何學家來說就沒那麼好了。這個證明可以在 Guillemin 和 Pollack (1974) 中找到。 Millman 和 Parker (1977) 給出了高斯-博內定理的標準微分幾何證明，而 Singer 和 Thorpe (1996) 給出了一個受高斯絕妙定理啟發的證明，該證明完全是內在的，沒有任何參考外部歐幾里得空間。

也可以給出考慮了兩種公式的通用高斯-博內公式。對於任何帶角的緊緻二維黎曼流形，2-流形上關於面積的高斯曲率積分是 乘以尤拉示性數，減去跳躍角之和以及邊界的總測地曲率。