Brouwer 度

設 為兩個緊緻、連通、定向的 維無邊界流形之間的對映。則 誘匯出一個從同調群 到 的同態 ，兩者都規範地同構於整數，因此 可以被認為是整數的同態。數字 1 被對映到的整數 被稱為對映 的度。

如果所涉及的流形是光滑的，則有一種簡單的方法來計算 。設 ，並用一個與 同倫的光滑對映來近似 ，使得 是 的“正則值”（根據 Sard 定理，這種正則值存在且處處稠密）。根據隱函式定理， 中的每個點都有一個鄰域，使得 限制在該鄰域上是一個微分同胚。如果這個微分同胚是保定向的，則賦予其數字 ，如果它是反定向的，則賦予其數字 。將 中所有點的數字加起來，這就是 ，即 的 Brouwer 度。對映的度之所以重要，一個原因是它是同倫不變數。一個更精確的結果表明， 維球面上的兩個自對映是同倫的，當且僅當它們具有相同的度。這等價於 維球面的第 個同倫群是整數集 的結果。 同構是透過取任何表示的度來給出的。

度概念的一個重要應用是，從 維球面到 維球面的對映的同倫類由它們的度來分類（對於每個整數 ，存在恰好一個對映的同倫類，並且 是這些對映的度）。