流形

流形是一個拓撲空間，它區域性歐幾里得（即，在每個點周圍，都存在一個鄰域，該鄰域在拓撲上與 開單位球在 中相同）。為了說明這個概念，考慮古代認為地球是平的觀點，這與現代證據表明地球是圓的觀點形成對比。這種差異本質上源於這樣一個事實：在我們看到的小尺度上，地球確實看起來是平的。一般來說，任何在小尺度上接近“平坦”的物體都是流形，因此流形構成了我們可以在其上生活的物體的概括，在這些物體中，我們會遇到地球是圓形還是平面的問題，正如龐加萊首次提出的那樣。

更簡潔地說，任何可以被“製圖”的物件都是流形。

拓撲學的目標之一是找到區分流形的方法。例如，一個圓在拓撲上與任何閉環相同，無論這兩個流形看起來多麼不同。類似地，帶有把手的咖啡杯的表面在拓撲上與甜甜圈的表面相同，這種型別的表面被稱為（單把手）環面。

作為拓撲空間，流形可以是緊緻的或非緊緻的，以及連通的或不連通的。通常，未經修飾的術語“流形”用於表示“帶邊界的流形”。本文件中遵循的是這種用法。但是，作者有時會更精確地使用術語開流形表示無邊界的非緊緻流形，或使用閉流形表示帶邊界的緊緻流形。

如果流形包含自己的邊界，那麼不出所料，它被稱為“帶邊界的流形”。 中的閉單位球是帶邊界的流形，其邊界是單位球面。這個概念可以推廣到帶有角的流形。根據定義，流形上的每個點都有一個鄰域，以及該鄰域與 中的開球的同胚。此外，流形必須具有第二可數拓撲。除非另有說明，否則假設流形具有有限維度 ，其中 為正整數。

光滑流形（也稱為可微流形）是指重疊圖“平滑相關”的流形，這意味著一個圖的反函式接上另一個圖是一個從歐幾里得空間到自身的無限可微對映。流形作為“全域性物件”自然地出現在各種數學和物理應用中。例如，為了精確描述機器人手臂的所有配置或火箭的所有可能位置和動量，需要一個物件來儲存所有這些引數。出現的物件是流形。從幾何學的角度來看，流形代表著關於全域性與區域性性質的深刻思想。

流形的基本例子是歐幾里得空間，它的許多性質都延續到流形。此外，歐幾里得空間子集的任何光滑邊界，如圓或球面，都是流形。因此，流形在幾何學、拓撲學和分析學的研究中引起了人們的興趣。

子流形是流形的子集，它本身也是流形，但維度較小。例如，球面的赤道是子流形。流形的許多常見例子都是歐幾里得空間的子流形。事實上，惠特尼在 1930 年代證明，任何流形都可以嵌入到 中，其中 。

流形可以被賦予比區域性歐幾里得拓撲更多的結構。例如，它可以是光滑的、復的，甚至是代數的（按特異性順序排列）。具有度量的光滑流形稱為黎曼流形，具有辛結構的流形稱為辛流形。最後，具有Kähler 結構的複流形稱為Kähler 流形。