瑟斯頓幾何化猜想

瑟斯頓猜想提出了三維流形上幾何結構的完整表徵。

在詳細闡述瑟斯頓幾何化猜想之前，一些背景資訊是有用的。三維流形具有所謂的標準兩級分解。首先是連通和分解，它指出每個緊三維流形都是唯一的素三維流形集合的連通和。

第二種分解是Jaco-Shalen-Johannson 環面分解，它指出不可約可定向緊 3 維流形具有規範的（直到同痕）最小的不相交嵌入不可壓縮環面集合，使得由環面移除的 3 維流形的每個分量要麼是“非環面的”，要麼是“Seifert 纖維化的”。

瑟斯頓猜想是，在將三維流形分解為連通和和Jaco-Shalen-Johannson 環面分解之後，剩餘的每個分量都恰好允許以下幾何結構之一

1. 歐幾里得幾何，

2. 雙曲幾何，

3. 球面幾何，

4. 幾何 ,

5. 幾何 ,

6. 幾何 通用覆蓋 李群 ,

7. 冪零幾何，或

8. Sol 幾何。

這裡， 是 2-球面（在拓撲學家的意義上）， 是雙曲平面。如果瑟斯頓猜想是正確的，那麼龐加萊猜想的正確性立即成立。瑟斯頓因在證明該猜想在一部分情況下成立的工作而分享了 1982 年的菲爾茲獎。

這些幾何結構中有六種現在已經得到了很好的理解，並且在雙曲幾何（恆定負標量曲率的幾何）方面取得了很大的進展。然而，恆定正曲率的幾何結構仍然知之甚少，在這種幾何結構中，瑟斯頓橢圓化猜想擴充套件了龐加萊猜想（Milnor）。

Perelman (2002, 2003) 的成果似乎確立了幾何化猜想，從而也確立了龐加萊猜想。與許多先前試圖證明龐加萊猜想的手稿不同，熟悉 Perelman 工作的數學家認為這項工作經過深思熟慮，並期望很難找到任何錯誤（Robinson 2003）。