通用覆蓋

一個連通拓撲空間 的通用覆蓋是一個單連通空間 ，帶有一個對映 ，它是一個覆蓋對映。如果 是單連通的，即具有平凡基本群，那麼它就是它自身的通用覆蓋。例如，球面 是它自身的通用覆蓋。通用覆蓋總是唯一的，並且在非常溫和的假設下，總是存在。事實上，拓撲空間 的通用覆蓋存在當且僅當空間 是連通的，區域性道路連通的，並且半區域性單連通的。

的任何性質都可以提升到其通用覆蓋，只要它是區域性定義的。有時，具有特殊結構的通用覆蓋可以被分類。例如， 上的黎曼度量在其通用覆蓋上定義了一個度量。如果度量是平坦的，那麼它的通用覆蓋是歐幾里得空間。另一個例子是黎曼曲面 的復結構，它也提升到其通用覆蓋。根據單值化定理， 的唯一可能的通用覆蓋是開單位圓盤、複平面 或黎曼球面 。

上面的左圖顯示了環面的通用覆蓋，即平面。一個基本區域（橙色陰影部分）可以與環面等同。 實射影平面是穿過原點的直線集合，其通用覆蓋是球面，如上右圖所示。唯一的非平凡覆蓋變換是對徑對映。

虧格 的緊黎曼曲面是 洞環面，它們的通用覆蓋是單位圓盤。上圖顯示了圓盤中的雙曲正八邊形。透過識別彩色邊，它成為雙環面的基本區域。每個洞有兩個環，沿著每個環切割會產生每個環兩條邊，總共八條邊。每個環也以不同的顏色顯示，並繪製箭頭以提供對齊它們的說明。 基本區域是灰色的，可以與下圖所示的雙環面等同。上面的動畫顯示了覆蓋變換對基本區域的一些平移，這些變換形成一個富克斯群。它們平鋪圓盤，類似於正方形平鋪平面以形成方環面。

儘管難以視覺化圓盤中的雙曲正八邊形作為切開的雙環面，但上面的圖示試圖描繪這一點。不幸的是，沒有具有恆定負曲率的雙曲緊流形可以嵌入到 中。因此，這張圖片與雙曲正八邊形不是等距的。然而，基本群的生成元以相同的顏色繪製，並且是所謂的黎曼曲面的切割的例子。

粗略地說，空間的通用覆蓋是透過以下過程獲得的。首先，將空間切開以形成帶邊的單連通空間，然後變成基本區域，就像雙環面被切割成雙曲八邊形或方環面被切開成正方形一樣。然後在邊上新增基本區域的副本。跨邊新增副本的規則是，每個點都必須看起來與原始空間相同，至少在附近。因此，基本區域的副本沿著原始空間中識別的邊對齊，但更多的邊也可能對齊。基本區域的副本被遞迴地新增到結果空間，只要還剩下任何邊。結果是一個覆蓋對映，可能具有無限多個單連通的基本區域的副本。

的任何其他覆蓋對映反過來都被 的通用覆蓋 覆蓋。從這個意義上說，通用覆蓋是最大的可能覆蓋。用嚴格的語言來說，通用覆蓋具有泛性質。如果 是一個覆蓋對映，那麼存在一個覆蓋對映 ，使得 和 的複合是從通用覆蓋到 的投影。