實射影平面

實射影平面是閉拓撲流形，記為 ，透過從固定點 （不在平面上）投影平面 上的點，並加上無窮遠線獲得。它可以透過連線正方形的邊在上面所示的方向上進行描述（Gardner 1971，第 15-17 頁；Gray 1997，第 323-324 頁）。

因此，在 中的點和穿過 且不平行於 的線之間存在一一對應關係。穿過 且平行於 的線與無窮遠線上的點存在一一對應關係。由於每條穿過 的線都在以 為中心且與 相切的球體 上相交於兩個對映點，因此 可以描述為 的商空間，透過識別任意兩個這樣的點獲得。實射影平面是不可定向曲面。 的赤道（在商空間中，它本身是一條射影線）對應於無窮遠線。

具有 6 個頂點的完全圖 可以在射影平面上繪製，而沒有任何線條交叉，如上圖所示。這裡，射影平面顯示為一個虛線圓，線條在圓的另一側繼續。 在射影平面上的對偶圖是 Petersen 圖。

Boy 曲面、交叉帽和羅馬曲面都同胚於實射影平面，並且由於 是不可定向的，因此這些曲面包含自相交（Kuiper 1961，Pinkall 1986）。