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博伊曲面

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博伊曲面是一個不可定向曲面，它是透過將莫比烏斯帶縫合到圓盤邊緣而獲得的曲面的一個可能的引數化表示。另外兩個拓撲等價的引數化表示是交叉帽和羅馬曲面。博伊曲面是無奇點的射影平面的模型，並且是一個六次曲面。

Boy surface sculpture at Oberwolfach

博伊曲面的雕塑，作為實射影平面在歐幾里得三維空間中的特殊浸入，於 1991 年 1 月 28 日安裝在奧伯沃爾法赫數學研究所圖書館大樓前 (奧伯沃爾法赫數學研究所；Karcher 和 Pinkall 1997)。

博伊曲面可以使用不可定向曲面的通用方法來描述，但這在 Apéry (1986) 找到解析方程之前是未知的。基於已被證明無法使用二次多項式描述曲面的事實，Hopf 曾推測四次多項式也不足以描述 (Pinkall 1986)。Apéry 的浸入證明了這個猜想是錯誤的，明確地給出了以不可定向曲面的標準形式表示的方程，

f_1(x,y,z)=1/2[(2x^2-y^2-z^2)(x^2+y^2+z^2)+2yz(y^2-z^2)+zx(x^2-z^2)+xy(y^2-x^2)]
(1)
f_2(x,y,z)=1/2sqrt(3)[(y^2-z^2)(x^2+y^2+z^2)+zx(z^2-x^2)+xy(y^2-x^2)]
(2)
f_3(x,y,z)=1/8(x+y+z)[(x+y+z)^3+4(y-x)(z-y)(x-z)].
(3)
BoySurface

代入

x=cosusinv
(4)
y=sinusinv
(5)
z=cosv
(6)

並令 u 在 [0,pi] 中 和 v 在 [0,pi] 中 即可得到博伊曲面，其三個檢視如上所示。

的 R^3 引數化表示也可以寫成

x=(sqrt(2)cos^2vcos(2u)+cosusin(2v))/(2-sqrt(2)sin(3u)sin(2v))
(7)
y=(sqrt(2)cos^2vsin(2u)-sinusin(2v))/(2-sqrt(2)sin(3u)sin(2v))
(8)
z=(3cos^2v)/(2-sqrt(2)sin(3u)sin(2v))
(9)

對於 u 在 [-pi/2,pi/2] 中 和 v 在 [0,pi] 中。

BoySurface2

使用此引數化表示獲得的曲面的三個檢視如上所示。

BoySurfaceBryant

R. Bryant 設計了漂亮的引數化表示

g_1=-3/2I[(z(1-z^4))/(z^6+sqrt(5)z^3-1)]
(10)
g_2=-3/2R[(z(1+z^4))/(z^6+sqrt(5)z^3-1)]
(11)
g_3=I[(1+z^6)/(z^6+sqrt(5)z^3-1)]-1/2,
(12)

其中

g=g_1^2+g_2^2+g_3^2
(13)

以及 |z|<=1，給出了曲面上點的笛卡爾座標為

X=(g_1)/g
(14)
Y=(g_2)/g
(15)
Z=(g_3)/g.
(16)
RomanBoy

實際上，羅馬曲面和博伊曲面之間的同倫（光滑形變）由以下方程給出

x(u,v)=(sqrt(2)cos(2u)cos^2v+cosusin(2v))/(2-alphasqrt(2)sin(3u)sin(2v))
(17)
y(u,v)=(sqrt(2)sin(2u)cos^2v-sinusin(2v))/(2-alphasqrt(2)sin(3u)sin(2v))
(18)
z(u,v)=(3cos^2v)/(2-alphasqrt(2)sin(3u)sin(2v))
(19)

當 alpha 從 0 變到 1 時，其中 alpha=0 對應於羅馬曲面，而 alpha=1 對應於如上所示的博伊曲面。

在 R^4 中，引數表示為

x_0=3[(u^2+v^2+w^2)(u^2+v^2)-sqrt(2)vw(3u^2-v^2)]
(20)
x_1=sqrt(2)(u^2+v^2)(u^2-v^2+sqrt(2)uw)
(21)
x_2=sqrt(2)(u^2+v^2)(2uv-sqrt(2)vw)
(22)
x_3=3(u^2+v^2)^2,
(23)

代數方程為

64(x_0-x_3)^3x_3^3-48(x_0-x_3)^2x_3^2(3x_1^2+3x_2^2+2x_3^2)+12(x_0-x_3)x_3[27(x_1^2+x_2^2)^2-24x_3^2(x_1^2+x_2^2)+36sqrt(2)x_2x_3(x_2^2-3x_1^2)+x_3^4]+(9x_1^2+9x_2^2-2x_3^2)[-81(x_1^2+x_2^2)^2-72x_3^2(x_1^2+x_2^2)+108sqrt(2)x_1x_3(x_1^2-3x_2^2)+4x_3^4]=0
(24)

(Apéry 1986)。令

x_0=1
(25)
x_1=x
(26)
x_2=y
(27)
x_3=z
(28)

給出了 R^3 中曲面的另一個版本。

另請參閱

交叉帽, 浸入, 莫比烏斯帶, 不可定向曲面, 實射影平面, 羅馬曲面, 六次曲面

使用 探索

參考文獻

Apéry, F. "The Boy Surface." Adv. Math. 61, 185-266, 1986.Apéry, F. Models of the Real Projective Plane: Computer Graphics of Steiner and Boy Surfaces. Braunschweig, Germany: Vieweg, 1987.Apéry, F. "An Algebraic Halfway Model for the Eversion of the Sphere." Tôhoku Math. J. 44, 103-150, 1992.Apéry, F.; and Franzoni, G. "The Eversion of the Sphere: a Material Model of the Central Phase." Rendiconti Sem. Fac. Sc. Univ. Cagliari 69, 1-18, 1999.Boy, W. "Über die Curvatura integra und die Topologie geschlossener Flächen." Math. Ann 57, 151-184, 1903.Brehm, U. "How to Build Minimal Polyhedral Models of the Boy Surface." Math. Intell. 12, 51-56, 1990.Carter, J. S. "On Generalizing Boy Surface--Constructing a Generator of the 3rd Stable Stem." Trans. Amer. Math. Soc. 298, 103-122, 1986.Fischer, G. (編). Plates 115-120 收錄於 Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, 頁 110-115, 1986.Geometry Center. "Boy's Surface." http://www.geom.umn.edu/zoo/toptype/pplane/boy/.Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. §46-47 收錄於 Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, 1999.Karcher, H. and Pinkall, U. "Die Boysche Fläche in Oberwolfach." Mitteilungen der DMV, issue 1, 45-47, 1997.Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. "The Boy Surface at Oberwolfach." http://www.mfo.de/general/boy/.Nordstrand, T. "Boy's Surface." http://jalape.no/math/boytxt.Petit, J.-P. and Souriau, J. "Une représentation analytique de la surface de Boy." C. R. Acad. Sci. Paris Sér. 1 Math 293, 269-272, 1981.Pinkall, U. "Regular Homotopy Classes of Immersed Surfaces." Topology 24, 421-434, 1985.Pinkall, U. Mathematical Models from the Collections of Universities and Museums (編 G. Fischer). Braunschweig, Germany: Vieweg, 頁 64-65, 1986.Stewart, I. Game, Set and Math. New York: Viking Penguin, 1991.Tardy, C. "La fameuse Surface de Boy." http://ctardy.free.fr/jadore/sciences/boy/.Toth, G. Finite Möbius Groups, Minimal Immersion of Spheres, and Moduli. Berlin: Springer-Verlag, 2002.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: Springer-Verlag, 頁 38-39, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.更新連結Wang, P. "Renderings." http://www.ugcs.caltech.edu/~peterw/portfolio/renderings/

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "博伊曲面。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BoySurface.html

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