射影平面

射影平面，有時被稱為扭曲球面 (Henle 1994, p. 110)，是一個無邊界的曲面，它是由通常的平面透過新增一條無窮遠線得到的。正如射影幾何中的直線包含一個單一的無窮遠點，在該點端點相遇一樣，射影幾何中的平面包含一條單一的無窮遠線，在該線上平面的邊緣相遇。射影平面可以透過將矩形的相對邊對粘合在一起，並給兩對邊都加上半扭曲來構造。它是一個單側曲面，但如果不自相交，就無法在三維空間中實現。

階數為 的有限射影平面正式定義為一個包含 個點的集合，具有以下性質：

1. 任意兩個點確定一條直線，

2. 任意兩條直線確定一個點，

3. 每個點上有 條直線，並且

4. 每條直線包含 個點。

（請注意，其中一些性質是冗餘的。）因此，射影平面是一個對稱 (, , 1) 區組設計。階數為 的仿射平面存在 當且僅當 階數為 的射影平面存在。

當階數 是素數的冪時，即 ，其中 時，有限射影平面存在。據推測，這些是唯一可能的射影平面，但證明這一點仍然是組合數學中最重要且未解決的問題之一。前幾個是素數冪的階數是 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, ... (OEIS A000961)。前幾個不是這種形式的階數是 6, 10, 12, 14, 15, ... (OEIS A024619)。

最小的有限射影平面的階數為 ，由被稱為法諾平面的 構型 組成，如上圖所示。

著名的 Bruck-Ryser-Chowla 定理指出，如果階數為 的射影平面存在，且 或 2 (mod 4)，則 是兩個平方數之和。這排除了 。透過使用大量計算機計算加上一些數學方法，在拉姆問題中得到否定答案，已經證明不存在階數為 10 的有限射影平面 (Lam 1991)。階數為 12 的射影平面的狀態仍然是開放的。

階數為 2 的射影平面，也稱為法諾平面，表示為 PG(2, 2)。它具有關聯矩陣

每行和每列包含 3 個 1，並且任何一對行/列都有一個共同的 1。

射影平面的尤拉示性數為 1，因此希伍德猜想表明，其上的任何區域集合都可以僅使用六種顏色著色 (Saaty 1986)。彼得森圖提供了射影平面的 6 色著色。