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卵形線


卵形線是一種類似於壓扁的的曲線,但與橢圓不同,它沒有精確的數學定義。“卵形線”一詞源於拉丁語中表示雞蛋的“ovus”。與橢圓不同,卵形線有時只有一個反射對稱軸(而不是兩個)。

Oval

上面圖示的特定變體可以用圓規構造,方法是將不同半徑的弧連線在一起,使弧的圓心位於穿過連線點的直線上(Dixon 1991)。阿爾布雷希特·丟勒使用這種方法設計了一種羅馬字型。如果左右帽之間的距離是a,半徑分別是Rr,其中r<RR-r<a,那麼連線圓的圓心(0,y)和半徑rho

rho=(a^2+R^2-r^2)/(2(R-r))
(1)
y=((R-r)^2-a^2)/(2(R-r)).
(2)

將這三個圓分別稱為 C_RC_rC_rho。設 C_rC_rho 的上方交點為 (x_0,y_0),設垂直虛線與穿過 (x_0,y_0) 的直線的夾角為 theta,設 C_r 的水平半徑與穿過 (x_0,y_0) 的虛線的夾角為 phi。那麼

x_0=(a(a^2-r^2+R^2))/(a^2+(R-r)^2)
(3)
y_0=(2a^2r)/(a^2+(R-r)^2)-r
(4)
theta=tan^(-1)(a/y)
(5)
phi=tan^(-1)((y_0)/(x_0-a)),
(6)

卵形線所包圍區域的一半面積是最左側四分之一圓的面積、C_rho 扇形的面積以及 C_r 扇形的面積之和,減去 C_rho 扇形中位於 x 軸下方的三角形部分的面積,因此

A=2(1/4piR^2+1/2rho^2theta+1/2r^2phi-1/2ay)
(7)
=1/2piR^2+rho^2theta+r^2phi-ay
(8)
=1/2[a(R-r)+pi(r^2+R^2)-(a^3)/(R-r)+([a^2+(R-r)^2](a^2-3r^2+2rR+R^2))/(2(R-r)^2)tan^(-1)((2a(R-r))/(a^2-(R-r)^2))].
(9)

正如預期的那樣,這個公式簡化為的面積

 A=piR^2
(10)

對於 a->R-r,以及體育場的面積

 A=pir^2+2ar
(11)

對於 R->r


另請參閱

笛卡爾卵形線, 卡西尼卵形線, Cundy 和 Rollett 蛋形線, 蛋形線, 橢圓, 檸檬曲面, 透鏡, 月牙形, Moss 蛋形線, 卵狀體, 圓角矩形, 體育場, 超橢圓, 相切圓, Thom 蛋形線

使用 探索

參考文獻

Critchlow, K. 時間靜止。 倫敦: Gordon Fraser, 1979.Cundy, H. 和 Rollett, A. 數學模型,第 3 版。 斯特拉布魯克,英格蘭: Tarquin Pub., 1989.Dixon, R. "雞蛋的繪製。" 新科學, 1982 年 7 月 29 日。Dixon, R. 數學圖形。 紐約: Dover, pp. 3-11, 1991.Pedoe, D. 幾何學與文科。 倫敦: Peregrine, 1976.

在 中引用

卵形線

請按如下方式引用

Weisstein, Eric W. “卵形線。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Oval.html

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