月牙形

月牙形是由兩個不等半徑的圓弧界定的平面圖形，即新月形。（相比之下，由兩個相等半徑的圓弧界定的平面圖形稱為透鏡形。）對於半徑為 和 的圓，其中心距離為 ，月牙形的面積由下式給出

(1)

其中

(2)

是邊長為 、 和 的三角形的面積。第二個公式可以直接透過減去兩個半透鏡形的面積獲得，它們的差值產生了上述彩色區域。

在上圖的每個圖形中，月牙形的面積等於所示三角形的面積。基俄斯的希波克拉底斯在公元前五世紀對上述左側月牙形進行了化方（Dunham 1990，第 19-20 頁；Wells 1991，第 143-144 頁），以及另外兩個。T. 克勞森在 19 世紀又發現了兩個可化方月牙形（Shenitzer 和 Steprans 1994；Dunham 1990 將這些發現歸功於 1771 年的尤拉）。在 20 世紀，N. G. 切巴塔列夫和 A. W. 多羅德諾夫證明了這五個是僅有的可化方月牙形（Shenitzer 和 Steprans 1994）。

希波克拉底斯還證明了，在上圖中，兩個彩色月牙形的面積之和等於三角形的面積（Pappas 1989，第 72-73 頁）。單獨地，月牙形的面積為

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其中三角形水平邊和垂直邊的長度分別為 和 。