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圓-圓 相交

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CircleIntersections

兩個圓可能相交於兩個虛點、一個退化點或兩個不同的點。

兩個圓的交點確定一條線，稱為根軸。如果三個圓兩兩相交於一個點，則它們的交點是它們兩兩根軸的交點，稱為根心。

CircleCircleIntersection

設兩個圓的半徑 R 和 r，圓心分別為 (0,0) 和 (d,0) 相交於一個形狀像非對稱透鏡的區域。這兩個圓的方程是

x^2+y^2=R^2
(1)
(x-d)^2+y^2=r^2.
(2)

結合 (1) 和 (2) 得到

(x-d)^2+(R^2-x^2)=r^2.
(3)

展開並重新排列得到

x^2-2dx+d^2-x^2=r^2-R^2.
(4)

求解 x 得到

x=(d^2-r^2+R^2)/(2d).
(5)

連線透鏡尖端的弦因此具有半長 y，透過將 x 代入回方程得到

y^2=R^2-x^2=R^2-((d^2-r^2+R^2)/(2d))^2
(6)
=(4d^2R^2-(d^2-r^2+R^2)^2)/(4d^2).
(7)

求解 y 並代入回方程以得到整個弦長 a=2y，然後得到

a=1/dsqrt(4d^2R^2-(d^2-r^2+R^2)^2)
(8)
=1/dsqrt((-d+r-R)(-d-r+R)(-d+r+R)(d+r+R)).
(9)

同樣的公式直接適用於球-球相交問題。

要找到圓相交形成的非對稱“透鏡”的面積，只需使用半徑為 R^' 和三角形高度為 d^' 的弓形面積公式

A(R^',d^')=R^('2)cos^(-1)((d^')/(R^'))-d^'sqrt(R^('2)-d^('2))
(10)

兩次，透鏡的每一半一次。注意到兩個弓形三角形的高度是

d_1=x=(d^2-r^2+R^2)/(2d)
(11)
d_2=d-x=(d^2+r^2-R^2)/(2d).
(12)

結果是

A=A(R,d_1)+A(r,d_2)
(13)
=r^2cos^(-1)((d^2+r^2-R^2)/(2dr))+R^2cos^(-1)((d^2+R^2-r^2)/(2dR))-1/2sqrt((-d+r+R)(d+r-R)(d-r+R)(d+r+R)).
(14)

可以檢查此表示式的極限情況，當 d=R+r 時結果為 0，並且

A=2R^2cos^(-1)(d/(2R))-1/2dsqrt(4R^2-d^2)
(15)
=2A(1/2d,R)
(16)

當 r=R 時，正如預期的那樣。

Circle-CircleIntersectionHalf

為了使兩個單位圓盤 (R=1) 面積的一半重疊，在上述方程中設定 A=piR^2/2=pi/2

1/2pi=2cos^(-1)(1/2d)-1/2dsqrt(4-d^2)
(17)

並進行數值求解，得到 d=0.8079455... (OEIS A133741)。

Circle3Intersection

如果三個對稱放置的相等圓相交於一個點，如上圖所示，則由圓的兩兩相交形成的三個透鏡形區域的總面積由下式給出

A=pi-3/2sqrt(3).
(18)
Circle4Intersection

類似地，由圓的兩兩相交形成的四個透鏡形區域的總面積由下式給出

A=2(pi-2).
(19)

另請參閱

Borromean 環, Brocard 三角形, 圓-橢圓 相交, 圓-線 相交, 弓形, 圓弧三角形, 雙泡, 山羊問題, 約翰遜定理, 透鏡, 月牙形, 穆罕默德之印, Moss 蛋, 根心, 根軸, 勒洛三角形, 球-球 相交, Steiner 構造, 三角形弧, 三曲枝, 維恩圖, 魚泡形

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參考文獻

Sloane, N. J. A. 整數序列線上百科全書 中的序列 A133741。

請引用為

Weisstein, Eric W. “圓-圓 相交。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Circle-CircleIntersection.html

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