山羊問題

山羊問題（或公牛拴繩問題）考慮一個半徑為 的圍欄圓形場地，一隻山羊（或公牛或其他動物）透過長度為 的繩索拴在圍欄內部或外部的點上，並詢問關於可以放牧多少場地的各種問題的解決方案。

將山羊拴在半徑為 1 的圍欄內部的點上，使用長度為 的鏈條，考慮必須使用多長的鏈條才能讓山羊恰好放牧場地面積的一半。答案是透過使用 圓-圓相交 的方程獲得的

(1)

取 得到

(2)

如上圖所示。設定 (即， 的一半) 導致方程

(3)

該方程無法精確求解，但其近似解為

(4)

(OEIS A133731)。

現在考慮將山羊拴在圍欄的外部（或等效地，拴在水平橫截面為圓的筒倉外部），半徑為 。假設 ，因此山羊無法到達比其起點對面圍欄上的點更遠的地方（Hoffman 1998，我們將 Hoffman 的公牛替換為更平凡的山羊）。山羊顯然可以在半徑為 的半圓內部放牧，該半圓的直徑與圍欄相切。此外，山羊可以在半圓兩側放牧兩個區域，這些區域以圍欄為內邊界，以圓漸屈線為外邊界。為了找到該區域的面積，假設圍欄的方向使得山羊可以到達的最遠圓周點位於位置 。現在，請注意，圓的漸開線的方程由下式給出

			(5)
			(6)

從幾何學可知，山羊將在徑向束縛和被拉到圓的切線束縛之間轉換，點在 處，因此

			(7)
			(8)
			(9)

將 (8) 和 (9) 相等並求解 ，然後表明這種情況發生在引數 處。山羊可以放牧的漸開線部分的面積由下式給出

			(10)
			(11)
			(12)

將此面積的兩倍加到半徑為 的半圓的面積，然後得到山羊可以放牧的總面積為

(13)

上面說明了 的多個比率的 grazable 面積。請注意， 的情況形成一條類似於但不等同於心臟線的曲線。