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笛卡爾卵形線

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CartesianOvals

“笛卡爾卵形線”，有時也稱為笛卡爾曲線或笛卡爾卵線，是由兩個卵形線組成的四次曲線。它們最早由笛卡爾在 1637 年研究，牛頓在對三次曲線進行分類時也研究過。它是點 P 的軌跡，該點到兩個焦點 F_1 和 F_2 在雙中心雙極座標系中的距離滿足

mr+/-nr^'=k,
(1)

其中 m,n 是正整數，k 是一個正實數，並且 r 和 r^' 是到 F_1 和 F_2 的距離 (Lockwood 1967, p. 188)。

笛卡爾卵形線是自反曲線。與笛卡爾卵形線不同，這些曲線具有三個焦點。

在笛卡爾座標系中，笛卡爾卵形線可以寫成

msqrt((x-a)^2+y^2)+nsqrt((x+a)^2+y^2)=k.
(2)

將包含 n 的項移到右側，兩邊平方，化簡和重新排列得到

(x^2+y^2+a^2)(m^2-n^2)-2ax(m^2+n^2)-k^2=-2knsqrt((x+a)^2+y^2),
(3)

再次兩邊平方得到

[(m^2-n^2)(x^2+y^2+a^2)-2ax(m^2+n^2)-k^2]^2 =4k^2n^2[(a+x)^2+y^2].
(4)

定義

b=m^2-n^2
(5)
c=m^2+n^2
(6)

得到稍微簡單的形式

[a^2b-k^2-2acx+b(x^2+y^2)]^2=2(c-b)k^2[(a+x)^2+y^2],
(7)

這對應於 Lawrence (1972, p. 157) 在 a=1 和 k=1 的情況下給出的形式。

如果 m=n，則卵形線變成中心圓錐曲線。

如果 c^' 是 F_1 和 F_2 之間的距離，並且使用方程

r+mr^'=a
(8)

代替，則另一種形式是

[(1-m^2)(x^2+y^2)+2m^2c^'x+a^('2)-m^2c^('2)]^2=4a^('2)(x^2+y^2).
(9)

另請參閱

雙極座標, 卵形線

使用 探索

參考文獻

Baudoin, P. Les ovales de Descartes et le limaçon de Pascal. Paris: Vuibert, 1938.Cundy, H. and Rollett, A. "The Cartesian Ovals." §2.4.3 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 35, 1989.Lawrence, J. D. "Cartesian Oval." §5.17 in A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 155-157, 1972.Lockwood, E. H. "The Ovals of Descartes." A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 188, 1967.MacTutor History of Mathematics Archive. "Cartesian Oval." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cartesian.html.Wassenaar, J. "Cartesian Oval." http://www.2dcurves.com/quartic/quarticct.html.

請引用為

Weisstein, Eric W. "笛卡爾卵形線。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CartesianOvals.html

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