相切圓

兩個圓，圓心位於 ，半徑為 ，對於 ，如果它們相互相切，則

(1)

如果第二個圓的圓心在第一個圓的內部，那麼 和 符號都對應於內切圓。如果第二個圓的圓心在第一個圓的外部，那麼 符號對應於外切圓，而 符號對應於內切圓。

找到與三個給定圓相切的圓被稱為阿波羅尼斯問題。Desborough Mirror 是一面美麗的青銅鏡子，在公元前 50 年至公元 50 年的鐵器時代製造，由精確相切的圓弧組成（Wolfram 2002, pp. 43 和 873）。

給定三個不同的非共線點 、 和 ，將三角形 的邊長表示為 、 和 。現在繪製三個圓，每個圓分別以每個點為圓心，並且每個圓與其他兩個圓相切（左圖），並將半徑稱為 、、。

有趣的是，這些圓的成對外部相似中心是三個 Nobbs 點 (P. Moses, 私人通訊, 3 月 14 日, 2005)。

這三個圓滿足

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（右圖）。求解半徑得到

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將這些方程代入 半周長 的方程

(8)

得到

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因此

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此外，

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將 和 切換到方程的相對側，並注意到上述論證同樣適用於 和 ，然後得到三個圓的半徑為

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這三個圓的成對切點正是 的切點三角形 的頂點，即內切圓與原始三角形相切的點形成的三角形。與這三個圓內切和外切的圓被稱為索迪圓。

沒有任何 Kimberling 中心位於任何相切圓上。

相切圓的根圓是內切圓。

兩個半徑為 和 的圓，圓心距離為 ，如果它們外切，則

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如果它們內切，則

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下表總結了一些常見的命名圓的相切圓。可以看出，內切圓、九點圓和摩西圓在費爾巴哈點相互相切。

有四個圓與給定三角形的所有三條邊（或其延長線）相切：內切圓 和三個旁切圓 、 和 。這四個圓又都與九點圓 相切。

如果兩個圓 和 ，半徑分別為 和 ，彼此相切並與一條直線相切，那麼它們的圓心之間的水平距離可以透過求解以下方程得到

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求解 ，得到

(18)

可以透過解聯立方程組找到與前兩個圓和直線相切的第三個圓的位置和半徑

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求解 和 ，得到

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後一個方程可以寫成以下形式

(23)

這個問題在 1824 年在群馬縣的一塊匾額上作為一個日本寺廟問題給出 (Rothman 1998)。