切線球體

任意四個互相切線的球體確定六個切點。如果確定 的兩個球體與確定 的兩個球體不同，則一對切點 被稱為是相對的。因此，這六個切點被分為三對相對的對，對應於將四個球體分成兩對的三種方式。這三對相對的切點是重合的（Altshiller-Court 1979，第 231 頁；Eppstein 2001）。

切線球體的一個特例是索迪六球環，它由六個球體鏈組成，這些球體鏈外部切於兩個互相切線的球體，並且內部切於一個外接球。鏈中圓的撓率服從以下關係

(1)

一個 1798 年的 算額問題 要求分佈 30 個半徑為 的相同球體，使得它們切於一個半徑為 的中心球體，並切於其他四個小球體。這可以透過將球體放置在邊長為 的 二十面十二面體（右圖）的頂點上來完成（左圖），其中半徑 和 由下式給出

			(2)
			(3)

（Rothman 1998）。

一般來說，五個互相切線的球體的撓率透過下式相關

(4)

求解 得到

(5)

（Soddy 1937a）。Gosset（1937）指出，根號下的表示式由下式給出

(6)

其中 是以相應四個球體的中心為頂點的四面體的體積。因此， 的方程可以簡化地寫為

(7)

其中

			(8)
			(9)

（Soddy 1937b）。

此外，由任何一個球體與其他四個球體的四個接觸點連線形成的四面體（當所有五個球體都互相接觸時）具有相對的邊，其乘積是常數

(10)

並且這些四面體的體積是

(11)

（Soddy 1937b）。Gosper 進一步將此結果擴充套件到 個互相切線的 維超球體，其曲率滿足

(12)

求解 得到

(13)

對於（至少） 和 3，根式等於

(14)

其中 是單純形的容積，該單純形的頂點是 個獨立的超球體的中心。被開方數也可能變為負數，從而產生一個虛數 。對於 ，這對應於一個球體接觸三個大的保齡球和一個小的 BB 彈，所有球體都互相切線，這是不可能的。