整數碗

將兩個半徑為 1/2 的實心球體放置在一個半徑為 1 的空心球體內部，使得兩個較小的球體在大球體的中心相互接觸，並與大球體直徑的端點處相切。這種排列方式被稱為“整數碗”（Soddy 1937），因為可以填充到其中的無限球鏈中，每個連續的球體與其鄰居相切，其彎曲度都是整數。前幾個彎曲度是 , 2, 5, 6, 9, 11, 14, 15, 18, 21, 23, ... (OEIS A046160)。下表給出了前幾個球環的大小和位置。

1		0	0	--
2	2		0	--
3	5
4	6			0
5	9
6	11			0
7	14
8	15
9	18			0
10	21
11	23
12	27			0,
13	30
14	33
15	38			0

球體也可以沿著與兩個半徑為 2 的球體相切的平面進行堆積（Soddy 1937）。可以使用五個相切球體的方程找到整數序列。令 得到

例如， , , , , , 等等，得到序列 , 2, 3, 11, 15, 27, 35, 47, 51, 63, 75, 83, ... (OEIS A046159)。下表給出了前幾個球環的大小和位置。

1		0	--
2	2	0	--
3	3		0
4	11
5	15		0
6	27
7	35		0
8	47
9	51
10	63		0
11	75
12	83
13	99		0
14	107
15	111
16	123
17	143		0
18	147
19	155
20	171

B. L. Galebach 和 A. R. Wilks 考慮了類似的將兩個彎曲度為 2 的圓放置在彎曲度為 的圓內，然後構建相互相切的圓鏈的問題。這些圓具有由 , 2, 3, 6, 11, 14, 15, 18, 23, 26, 27, 30, 35, 38, ... (OEIS A042944) 給出的整數彎曲度。在這些數字中，與 2、3、6、11 (mod 12) 同餘且在此序列中缺失的唯一已知數字是 78, 159, 207, 243, 246, 342, ... (OEIS A042945)，據推測，這個序列是有限的。

Hannachi（私人通訊，2006 年 3 月 10 日）在一個彎曲度為 的球體內部找到了一個由三個彎曲度為 6 的球體和一個彎曲度為 7 的球體組成的碗。