馬爾法蒂圓

三個圓被放置在一個三角形內部，每個圓都與其他兩個圓以及三角形的兩條邊相切，這三個圓被稱為馬爾法蒂圓。馬爾法蒂構型出現在 Martin (1998) 的封面上。

馬爾法蒂圓的位置和半徑可以透過標記邊和距離來找到，如上圖所示。連線圓 和 的線段在邊 上的投影長度可以從右圖看出為：

			(1)
			(2)

因此，從標記長度之和必須等於邊長的條件可以得出三個方程：

			(3)
			(4)
			(5)

另外三個方程來自於圓心位於三角形頂點的對應角平分線上的事實，因此：

			(6)
			(7)
			(8)

將這些方程用邊長重新表示，並重新排列和平方以消除平方根，然後得到六個多項式方程組：

	(9)
	(10)
	(11)
	(12)
	(13)
	(14)

這個系統可以同時求解半徑和距離。-圓的半徑和位置由複雜結果多項式的適當根給出：

(15)

特別是：

			(16)
			(17)
			(18)

其中 是一個 多項式根，中心由下式給出：

			(19)
			(20)
			(21)

設圓的半徑為 、 和 。那麼，內切這些圓的三角形的內半徑 由下式給出：

			(22)
			(23)

(Fukagawa and Pedoe 1989, 第 106 頁)。

儘管多年來人們認為這些圓提供了馬爾法蒂問題的解，但後來證明它們從不提供解。