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卡西尼卵形線

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CassiniOvals

卡西尼卵形線是一族 四次曲線，也稱為卡西尼橢圓，由這樣的點描述：它到兩個固定點的距離的乘積為常數 b^2，其中兩個固定點相距 2a。曲線的形狀取決於 b/a。如果 a<b，則曲線是具有 卵形（上圖左側）或狗骨形（第二張圖）的單環。 a=b 的情況產生 雙紐線（第三張圖）。如果 a>b，則曲線由兩個環組成（右圖）。卡西尼卵形線是 anallagmatic 曲線。

CassiniOvalCurves

上面說明了一系列 b/a=0.1 到 1.5 的值的卵形線。

卡西尼在 1680 年研究地球和太陽的相對運動時首次研究了該曲線。卡西尼認為太陽在一個這樣的卵形線上繞地球執行，地球位於卵形線的一個 焦點 上。

卡西尼卵形線在雙中心 雙極座標 中由以下方程定義

r_1r_2=b^2,
(1)

原點位於一個 焦點 上。更令人難以置信的曲線是由一個點的軌跡產生的，該點到 3 個或更多固定點的距離的乘積是一個常數。

卡西尼卵形線具有 笛卡爾 方程

[(x-a)^2+y^2][(x+a)^2+y^2]=b^4
(2)

或等價形式

(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4
(3)

以及極座標方程

r^4+a^4-2a^2r^2[1+cos(2theta)]=b^4.
(4)

使用 二次方程 求解 r^2 得到

r^2=(2a^2cos(2theta)+/-sqrt(4a^4cos^2(2theta)-4(a^4-b^4)))/2
(5)
=a^2cos(2theta)+/-sqrt(a^4cos^2(2theta)+b^4-a^4)
(6)
=a^2cos(2theta)+/-sqrt(a^4[cos^2(2theta)-1]+b^4)
(7)
=a^2cos(2theta)+/-sqrt(b^4-a^4sin^2(2theta))
(8)
=a^2[cos(2theta)+/-sqrt((b/a)^4-sin^2(2theta))].
(9)

設一個管半徑為 a 的 環面 被一個垂直於環面質心平面的平面切割。將此平面到環面孔中心的距離稱為 r，令 a=r，並考慮當 r 變化時，此平面與環面的交點。得到的曲線是卡西尼卵形線，雙紐線 出現在 r=1/2 時。因此，卡西尼卵形線是 環面截線。

如果 a<b，則曲線具有 面積

A=1/2r^2dtheta
(10)
=2(1/2)int_(-pi/4)^(pi/4)r^2dtheta
(11)
=a^2+b^2E((a^2)/(b^2)),
(12)

其中積分是在曲線的一半上完成，然後乘以 2，並且 E(x) 是第二類完全 橢圓積分。如果 a=b，則曲線變為

r^2=a^2[cos(2theta)+sqrt(1-sin^2theta)]
(13)
=2a^2cos(2theta),
(14)

這是一個 雙紐線，具有 面積

A=2a^2
(15)

（曲線的兩個環 sqrt(2) 是通常雙紐線的線性比例 r^2=a^2cos(2theta)，每個環的面積為 A=a^2/2）。如果 a>b，則曲線變為兩個不相交的卵形線，方程為

r=+/-asqrt(cos(2theta)+/-sqrt((b/a)^4-sin^2(2theta))),
(16)

其中 theta in [-theta_0,theta_0] 和

theta_0=1/2sin^(-1)[(b/a)^2].
(17)

另請參閱

卡西尼曲面, 雙紐線, 曼德勃羅集, 卵形線, 環面

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 221, 1987.Gray, A. "Cassinian Ovals." §4.2 in 使用 Mathematica 的曲線和曲面的現代微分幾何，第 2 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 82-86, 1997.Kabai, S. 數學圖形 I：使用 Mathematica 的計算機圖形課程。 Püspökladány, Hungary: Uniconstant, p. 145, 2002.Lawrence, J. D. 特殊平面曲線目錄。 New York: Dover, pp. 153-155, 1972.Lockwood, E. H. 曲線之書。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 187-188, 1967.MacTutor 數學史檔案館. "Cassinian Ovals." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cassinian.html.Piziak, R. and Turner, D. "Exploring Gerschgorin Circles and Cassini Ovals." Mathematica Educ. 3, 13-21, 1994.Smith, D. E. 數學史，第 2 卷：初等數學的專題。 New York: Dover, p. 329, 1958.Wells, D. 企鵝好奇與有趣的幾何學詞典。 London: Penguin, pp. 25-26, 1991.Yates, R. C. "Cassinian Curves." 曲線及其性質手冊。 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 8-11, 1952.

引用為

Weisstein, Eric W. "Cassini Ovals." 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/CassiniOvals.html

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