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區組設計

一個關聯絡統 (v, k, lambda, r, b) ，其中一個 X 包含 v 個點的集合被劃分為一個 A 包含 b 個子集（區組）的族，使得任意兩點確定 lambda 個區組，每個區組包含 k 個點，並且每個點包含在 r 個不同的區組中。通常也要求 k<v，這就是術語“不完全”的來源，該術語最常在區組設計中遇到，即平衡不完全區組設計 (BIBD)。

這五個引數不是獨立的，而是滿足以下兩個關係式

vr=bk
(1)
lambda(v-1)=r(k-1).
(2)

因此，BIBD 通常簡寫為 (v, k, lambda)，因為 b 和 r 可以用 v, k 和 lambda 表示為

b=(v(v-1)lambda)/(k(k-1))
(3)
r=(lambda(v-1))/(k-1).
(4)

如果 b=v （或等價地，r=k），則 BIBD 稱為對稱的。

令 X={x_i}_(i=1)^v 和 A={A_j}_(j=1)^b，則 BIBD 的關聯矩陣由 v×b 矩陣 M 定義，其中

m_(ij)={1 if x_i in A_j; 0 otherwise.
(5)

該矩陣滿足方程

MM^(T)=(r-lambda)I+lambdaJ,
(6)

其中 I 是一個 v×v 單位矩陣，J 是 v×v 單位矩陣 (Dinitz 和 Stinson 1992)。

BIBD 的示例如下表所示。

區組設計(v, k, lambda)
仿射平面(n^2, n, 1)
法諾平面(7, 3, 1)
哈達瑪設計對稱 (4n+3, 2n+1, n)
射影平面對稱 (n^2+n+1, n+1, 1)
斯坦納三元系(v, 3, 1)
一致設計(q^3+1, q+1, 1)

另請參閱

仿射平面, 設計, 法諾平面, 哈達瑪設計, 平行類, 射影平面, 分解, 可分解, 斯坦納三元系, 對稱區組設計, 一致設計

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參考文獻

Dinitz, J. H. 和 Stinson, D. R. "設計理論簡述。" Ch. 1 in 當代設計理論：綜述集 (Ed. J. H. Dinitz 和 D. R. Stinson)。紐約：Wiley，pp. 1-12，1992。Ryser, H. J. "The (b,v,r,k,lambda)-構型。" §8.1 in 組合數學。 Buffalo, NY: Math. Assoc. Amer.，pp. 96-102，1963。

在 上被引用

區組設計

請引用為

Weisstein, Eric W. "區組設計。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BlockDesign.html

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