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法諾平面

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法諾平面是由二維有限射影平面和 2 階伽羅瓦域 GF(2) 構成的構型。它在實數或有理數域上是不可實現的 (Gropp 1997)。上面展示了法諾平面的關聯結構。

它是一個區組設計，引數為 nu=7, k=3, lambda=1, r=3, 和 b=7，是施泰納三元系 S(7)，以及唯一的 7_3 構型。法諾平面的 Levi 圖是 希伍德圖。

法諾平面的連通性對應於 2 階二維阿波羅尼奧斯網路。

法諾平面也解決了特蘭西瓦尼亞彩票問題，該彩票從整數 1-14 中選取三個數字。使用兩個法諾平面，我們可以保證僅玩 14 次就能匹配兩個數字，方法如下。用整數 1-7 標記一個法諾平面的圖頂點，另一個平面用整數 8-14 標記。要玩的 14 張彩票是兩個平面的 14 條線。那麼，如果 (a,b,c) 是中獎彩票，則 a,b,c 中至少有兩個數字在區間 [1, 7] 或 [8, 14] 內。這兩個數字在相應平面的恰好一條線上，因此我們的一張彩票會匹配它們。

Lehmers (1974) 發現了法諾平面在透過二次型分解整數方面的應用。這裡，使用的形式三元組構成七個點上的射影幾何的線，其平面是對應於模 24 的殘差類對的法諾構型 (Lehmer and Lehmer 1974, Guy 1975, Shanks 1985)。法諾平面的自同構群（保關聯雙射）是群階為 168 的單群 (Klein 1870)。

參見

構型, 設計, 法諾幾何, 希伍德圖, 射影平面, 施泰納三元系, 特蘭西瓦尼亞彩票

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參考文獻

Coxeter, H. S. M. "Self-Dual Configurations and Regular Graphs." Bull. Amer. Math. Soc. 56, 413-455, 1950.Gropp, H. "Configurations and Their Realization." Discr. Math. 174, 137-151, 1997.Grünbaum, B. 點的構型與線。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 67-68, 2009.Guy, R. "How to Factor a Number." Proc. Fifth Manitoba Conf. on Numerical Math., 49-89, 1975.Klein, F. "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades." Math. Ann. 2, 198-226, 1870.Lehmer, D. H. and Lehmer, E. "A New Factorization Technique Using Quadratic Forms." Math. Comput. 28, 625-635, 1974.Pisanski, T. and Randić, M. "Bridges between Geometry and Graph Theory." In 幾何在工作中：展示幾何應用論文集 (Ed. C. A. Gorini). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 174-194, 2000.Shanks, D. 數論中已解決和未解決的問題，第 3 版。 New York: Chelsea, pp. 202 和 238, 1985.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的幾何學詞典。 London: Penguin, p. 72, 1991.

在 中被引用

法諾平面

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "法諾平面。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FanoPlane.html

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