不可定向曲面

一種曲面，例如 莫比烏斯帶 或 克萊因瓶 (Gray 1997, pp. 322-323)，在其上存在一條閉合路徑，使得當定向子繞此路徑移動時，定向反轉。實射影平面 也是一個不可定向曲面，博伊曲面、交叉帽 和 羅馬曲面 也是，所有這些都同胚於 實射影平面 (Pinkall 1986)。

存在一種構造不可定向曲面的一般方法，步驟如下 (Banchoff 1984, Pinkall 1986)。選擇三個 齊次多項式，其 正 偶 次，並考慮 對映

(1)

然後透過寫入將 、 和 限制到球面上

			(2)
			(3)
			(4)

並將 限制為 ，將 限制為 ，定義了從 實射影平面 到 的對映。

在三維空間中，沒有不 自相交 的無界不可定向曲面 (Kuiper 1961, Pinkall 1986)。