克萊因瓶

克萊因瓶是一個閉合的不可定向曲面，其尤拉示性數為 0（Dodson 和 Parker 1997，第 125 頁），它沒有內部或外部，最初由費利克斯·克萊因描述（希爾伯特和科恩-福森 1999，第 308 頁）。它可以透過將矩形的相對邊兩兩粘合在一起，其中一對邊進行半扭轉來構造，但只能在四維空間中物理實現，因為它必須在沒有孔的情況下穿過自身。它的拓撲結構等價於一對邊界重合的交叉帽（Francis 和 Weeks 1999）。它可以用正方形的邊以右圖所示的方向連線來表示（Gardner 1984，第 15-17 頁；Gray 1997，第 323-324 頁）。

它可以沿長度方向切成兩半，變成兩個莫比烏斯帶（Dodson 和 Parker 1997，第 88 頁），但也可以切成單個莫比烏斯帶（Gardner 1984，第 14 頁和第 17 頁）。

上圖是克萊因瓶在 （三維空間）中的浸入。還有另一種可能的浸入，稱為“8 字形”浸入（Apéry 1987，Gray 1997，Geometry Center）。雖然 Gray (1997) 使用8 字曲線（又名熱爾貢的雙紐線）描述了這種嵌入，但它也可以使用通常的（伯努利）雙紐線來構造（Pinkall 1985，Apéry 1987）。

通常浸入的方程由隱式方程給出

(1)

（Stewart 1991）。Nordstrand 給出了引數形式

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克萊因瓶的“8 字形”形式是透過將 8 字形繞軸旋轉並在其中放置一個扭曲而獲得的，由引數方程給出

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對於 , , 和 (Gray 1997)。

以原點為中心的環面的交叉帽對映的影像是克萊因瓶（Gray 1997，第 339 頁）。莫比烏斯短褲在拓撲上等價於帶孔的克萊因瓶（Gramain 1984，Stewart 2000）。

克萊因瓶上的任何區域集合都可以僅使用六種顏色著色（Franklin 1934，Saaty 和 Kainen 1986），這是對希伍德猜想的唯一例外（Bondy 和 Murty 1976，第 244 頁）。12 頂點圖（頂部圖）在克萊因瓶上的嵌入（底部圖）將其劃分為區域，該區域具有使用六種顏色進行最小著色的，被稱為富蘭克林圖。