交叉帽

單側曲面的自相交。“cross-cap”一詞有時也寫成不帶連字元的單詞“crosscap”。交叉帽可以被認為是這樣的物體：在一個曲面上穿孔一次，在孔周圍以相同方向連線兩條拉鍊，扭曲這個孔使拉鍊對齊，需要曲面自身相交，然後再拉上拉鍊。交叉帽也可以被描述為一個圓形孔洞，當進入時，會從其對立點出來（從拓撲學的角度來看，交叉帽上的兩個奇點是等價的）。

交叉帽有一段雙重點，終止於兩個“pinch point（捏點/尖點）”。一個交叉柄與兩個交叉帽是同胚的（Francis and Weeks 1999）。

帶有一個交叉帽的球面傳統上被稱為實射影平面。雖然這在存在仿射結構的射影幾何研究中是合適的，但 J. H. Conway 提倡在純粹的拓撲解釋中使用術語交叉曲面（Francis and Weeks 1999）。交叉帽是透過將莫比烏斯帶縫合到圓盤邊緣而獲得的三種可能的曲面之一。另外兩個是博伊曲面和羅馬曲面。

具有重合邊界的兩個交叉帽的球面在拓撲上等價於克萊因瓶（Francis and Weeks 1999）。具有三個交叉帽的曲面被稱為戴克曲面（Dyck's surface）（Francis and Collins 1993，Francis and Weeks 1999）。

交叉帽可以使用非可定向曲面的一般方法，使用多項式函式生成

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(Pinkall 1986)。變換到球座標系得到

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對於 和 。為了使方程稍微簡單一些，通常將所有三個方程乘以因子 2 以消除任意比例常數。上面顯示了使用此方程生成的交叉帽的三個檢視。請注意，中間那個看起來非常像 Bour 的極小曲面。

另一種表示是

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(Gray 1997)，給出引數方程

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(Geometry Center) 其中，出於美觀原因，- 和 -座標已乘以 2，以產生一個壓縮但拓撲等價的曲面。因此，它是由下式給出的四次曲面

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在這種引數化中，曲面所圍成的體積是

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對於具有均勻密度 和質量 的實體的慣性張量由下式給出

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對交叉帽進行反演，使得 (0, 0, ) 被對映到 ，得到普呂克錐面（Plücker's conoid），如上所示（Pinkall 1986）。