雙曲幾何

一種 非歐幾里得幾何，也稱為羅巴切夫斯基-波利亞伊-高斯幾何，具有恆定的截面曲率 。這種幾何滿足歐幾里得的所有公設，除了歐幾里得公設除了平行公設，該公設被修改為：對於任何無限直線直線 和任何不在直線上的點 ，存在許多其他無限延伸的直線直線，這些直線穿過點 且不與相交 。

在雙曲幾何中，三角形的角之和小於 ，並且具有相同角度的三角形具有相同的面積。此外，並非所有三角形都具有相同的角和（參見歐幾里得二維空間中三角形的 AAA 定理）。在雙曲幾何中沒有相似三角形。雙曲空間最著名的例子是洛倫茲四維空間中的球面。龐加萊雙曲盤是一個雙曲二維空間。雙曲幾何在二維中被很好地理解，但在三維中則不然。

雙曲幾何的幾何模型包括 克萊因-貝爾特拉米模型，該模型由歐幾里得平面中的一個開圓盤組成，其開弦對應於雙曲線。二維模型是 龐加萊雙曲盤。費利克斯·克萊因在 1870 年構建瞭解析雙曲幾何，其中點由一對實數 表示，其中

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（即，複平面中開圓盤的點），並且兩點之間的距離由下式給出

(2)

由此公式生成的幾何滿足歐幾里得的所有歐幾里得公設，除了第五公設。這種幾何的度量由 凱萊-克萊因-希爾伯特度量給出，

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希爾伯特將定義擴充套件到歐幾里得空間中的一般有界集。