1. 可以畫一條直線段連線任意兩點。
2. 任意直線段可以沿直線無限延伸。
3. 給定任意直線段，可以以該線段為半徑，以其一個端點為圓心畫一個圓。
5. 如果兩條直線與第三條直線相交，使得一側的內角之和小於兩個直角，那麼如果將這兩條直線無限延伸，它們必然會在該側相交。這個公設等價於所謂的平行公設。
歐幾里得的第五公設不能被證明為定理，儘管許多人嘗試過。歐幾里得本人在前28個《幾何原本》命題中只使用了前四個公設（“絕對幾何”），但在第29個命題中不得不引用平行公設。1823年，亞諾什·波利亞伊和尼古拉·羅巴切夫斯基獨立地意識到，可以建立完全自洽的“非歐幾何”，其中平行公設不成立。（高斯也發現了非歐幾何的存在，但壓制了它。）
