克萊因-貝爾特拉米模型

雙曲幾何的克萊因-貝爾特拉米模型由歐幾里得平面上的一個開圓盤組成，其開圓盤對應於雙曲直線。如果兩條直線 和 的弦不相交，並且在以下條件下垂直，則認為它們是平行的，

1. 如果直線 和 中至少有一條是圓盤的直徑，則當且僅當它們在歐幾里得意義下垂直時，它們是雙曲垂直的當且僅當。

2. 如果兩者都不是直徑，則直線 垂直於直線 當且僅當延伸直線 的歐幾里得直線穿過 的極點（定義為圓盤在 的“端點”處的切線的交點）。

龐加萊雙曲圓盤模型和克萊因-貝爾特拉米模型之間存在同構。考慮歐幾里得三維空間中的一個克萊因圓盤，其上方放置一個半徑相同的球體，在原點處相切。 如果我們現在將圓盤上的弦正交向上投影到球體的下半球，它們將變成垂直於赤道的圓弧。 如果我們然後從北極將球體的下半球球極投影回克萊因圓盤的平面上，赤道將對映到一個比克萊因圓盤稍大的圓盤上，而原始克萊因圓盤的弦現在將是垂直於這個較大圓盤的圓弧。 也就是說，它們將是龐加萊直線。 現在我們可以說，兩條克萊因直線或角是全等的當且僅當它們在此同構下對應的龐加萊直線和角在龐加萊模型的意義下是全等的。